XLVII OM - III - Zadanie 2

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ wybrano punkt $ P $ spełniający warunki: $ |\measuredangle PBC|=|\measuredangle PCA| < |\measuredangle PAB| $. Prosta $ BP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ w punktach $ B $ i $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ APE $ przecina prostą $ CE $ w punktach $ E $ i $ F $. Udowodnić, że punkty $ A $, $ P $, $ E $, $ F $ są kolejnymi wierzchołkami czworokąta oraz że stosunek pola czworokąta $ APEF $ do pola trójkąta $ ABP $ nie zależy od wyboru punktu $ P $.

Rozwiązanie

Oznaczmy okrąg opisany na trójkącie $ ABC $ przez $ \Omega $, a okrąg opisany na trójkącie $ APE $ przez $ \omega $ (rysunek 10). Przez punkt $ E $ prowadzimy prostą styczną do okręgu $ \omega $ i wybieramy na niej dowolny punkt $ Q $, leżący po tej samej stronie prostej $ AE $, co punkty $ B $, $ C $ i $ P $ (może to być na przykład punkt przecięcia tej prostej z okręgiem $ \Omega $, różny od $ E $). Leży on po przeciwnej stronie prostej $ EP $ niż punkt $ A $ - a więc po tej samej stronie prostej $ EP $, co punkt $ C $.

Zachodzą następujące równości kątów:

\[<br />
(1) \qquad  \quad |\measuredangle EAC| = | \measuredangle EBC|,\quad   |\measuredangle CAB| = |\measuredangle CEB|, \quad  |\measuredangle ACE| = |\measuredangle ABE|,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  \quad |\measuredangle EAP| = |\measuredangle QEP|;<br />
\]

równości (1) wiążą pary kątów wpisanych w okrąg $ \Omega $, a równość (2) wynika stąd, że prosta $ EQ $ jest styczna do okręgu $ \omega $ (oraz z wyboru punktu $ Q $).

Dane w zadaniu warunki dotyczące kątów wyznaczonych przez punkt $ P $ prowadzą, w połączeniu z pierwszą równością (1), do następujących konkluzji:

\[<br />
(3) \qquad  \quad | \measuredangle EAC| = | \measuredangle EBC| = |\measuredangle PBC| = |\measuredangle PCA|<br />
\]

oraz

\[<br />
(4) \qquad  \quad |\measuredangle CAP| + |\measuredangle PCA| < |\measuredangle CAP| + |\measuredangle PAB| = |\measuredangle CAB|.<br />
\]

Korzystając kolejno ze związków (3), (4) oraz ze środkowej równości (1) mamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle EAP| & = |\measuredangle EAC| + |\measuredangle CAP| =\\<br />
& = |\measuredangle PCA| + |\measuredangle CAP| < |\measuredangle CAB| = |\measuredangle CEB| = |\measuredangle CEP|.<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec równości (2) możemy przepisać otrzymaną zależność w postaci

\[<br />
(5) \qquad  \quad |\measuredangle QEP| < |\measuredangle CEP|.<br />
\]

Wcześniej stwierdziliśmy, że punkty $ Q $ i $ C $ leżą po jednej stronie prostej $ EP $. Z nierówności (5) wynika więc, że punkty $ P $ i $ C $ leżą po różnych stronach prostej $ EQ $.

Zauważmy dalej, że $ P $ i $ F $, jako punkty okręgu stycznego do prostej $ EQ $, leżą po jednej jej stronie. W takim razie punkty $ C $ i $ F $ leżą po różnych stronach tej prostej. Stąd wniosek, że punkty $ C $, $ E $, $ F $ leżą na prostej $ CE $ w takim właśnie porządku.

om47_3r_img_10.jpg

Równość (3) pokazuje, że prosta $ AE $ jest równoległa do $ PC $. Skoro więc punkt $ E $ leży między punktami $ C $ i $ F $, znaczy to, że punkt $ F $ leży po przeciwnej stronie prostej $ AE $ niż każdy punkt prostej $ PC $; w szczególności, leży po przeciwnej jej stronie niż punkt $ P $. Tak więc punkty $ A $, $ P $, $ E $, $ F $ są kolejnymi wierzchołkami czworokąta; mamy pierwszą część tezy zadania.

Z udowodnionej równoległości $ AE || PC $ wynika ponadto, że trójkąty $ APE $ i $ ACE $ mają równe pola; mają bowiem wspólny bok $ AE $ oraz równe wysokości, opuszczone na ten bok odpowiednio z wierzchołków $ P $ i $ C $. Wobec tego pole czworokąta $ APEF $ jest równe polu trójkąta $ ACF $.

Czworokąt $ APEF $ jest wpisany w okrąg, więc

\[<br />
|\measuredangle CFA | = |\measuredangle EFA| = 180^\circ - |\measuredangle APE| = |\measuredangle BPA|.<br />
\]

Trzecią równość (1) przepisujemy jako $  | \measuredangle ACF| = |\measuredangle ABP| $. Z tych równości wnosimy, że trójkąt $ ACF $ jest podobny do trójkąta $ ABP $. Zatem

\[<br />
\frac{\textrm{pole}(APEF)}{\textrm{pole}(ABP)} = \frac{\textrm{pole}(ACF)}{\textrm{pole}(ABP)}= \left( \frac{|AC|}{|AB|}\right)^2.<br />
\]

Otrzymana liczba jest dla danego trójkąta $ ABC $ wielkością stałą, niezależną od wyboru punktu $ P $, spełniającego podane warunki.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź