XLVII OM - III - Zadanie 3

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $ oraz liczby dodatnie $ a_l, a_2, \ldots , a_n $, których suma równa się 1.

(a) Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ o sumie równej 1 zachodzi nierówność

\[<br />
\2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}<br />
\]

(b) Wyznaczyć wszystkie układy liczb dodatnich $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ o sumie równej 1 dla których powyższa nierówność staje się równością.

Uwaga: Symbol $ \sum_{i<j} x_ix_j $ oznacza sumę $ \binom{n}{2} $ składników odpowiadających wszystkim parom wskaźników $ i,j $ ze zbioru $ \{1,2, \ldots ,n\} $ spełniającym warunek $ i < j $.

Rozwiązanie

Z podanych warunków ($ n \geq 2 $; $ a_i>0 $; $ \sum a_i =1 $) wynika, że liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ należą do przedziału $ (0;\ 1) $. Przyjmijmy

\[<br />
(1) \qquad  \quad c_i=\sqrt{1-a_i} \ \textrm{dla} \ i=1,2,\ldots,n;<br />
\]

są to także liczby z przedziału $ (0;\ 1) $. Zachodzi dla nich równość

\[<br />
(2) \qquad  \quad \sum_{i=1}^n c_i^2 = n-1.<br />
\]

Niech $ x_1, x_2,\ldots, x_n $ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa $ 1 $. Wówczas

\[<br />
2 \sum_{i<j} x_ix_j = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) ^2-\sum_{i=1}^n x_i^2=1- \sum_{i=1}^n x_i^2.<br />
\]

Nierówność dana do udowodnienia przybiera postać

\[<br />
1- \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i},<br />
\]

czyli

\[<br />
\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{1-a_i} \geq \frac{1}{n-1};<br />
\]

a używając oznaczenia (1) dostajemy kolejną równoważną postać dowodzonej nierówności:

\[<br />
(3) \qquad  \quad \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{c_i} \right)^2 \geq  \frac{1}{n-1};<br />
\]

Dla każdego numeru $ i \in \{1,2,\ldots,n\} $ mamy oczywistą nierówność

\[<br />
(4) \qquad  \quad \left( \frac{x_i}{c_i} - \frac{c_i}{n-1} \right)^2 \geq 0.<br />
\]

Dodajemy te $ n $ nierówności stronami (rozpisując kwadraty różnic):

\[<br />
\sum_{i=1}^n \left( \left(\frac{x_i}{c_i}\right)^2 - \frac{2x_i}{n-1} + \left(\frac{c_i}{n-1}\right)^2 \right) \geq 0.<br />
\]

Korzystamy ze wzoru (2) oraz z tego, że $ \sum x_i=1 $, i otrzymujemy

\[<br />
\sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{c_i} \right)^2 - \frac{2}{n-1} + \frac{1}{(n-1)^2} \cdot (n-1) \geq 0.<br />
\]

Po prostym przekształceniu wynika stąd nierówność (3).

Udowodniliśmy tezę (a).

Z przeprowadzonego rozumowania wynika także natychmiast rozstrzygnięcie kwestii (b): nierówność (3) (równoważna nierówności podanej w zadaniu) staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nierówności (4) (dla $ i = 1,2, \ldots,n $) przechodzi w równość; to znaczy, gdy $ x_i/c_i= c_i/(n - 1) $, czyli - zgodnie z oznaczeniem (1) — gdy

\[<br />
(5) \qquad  \quad x_i=\frac{1-a_i}{n-1} \ \textrm{dla} \ i=1,2,\ldots, n.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź