XLVI OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $. Rozwiązać układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
x_1|x_1| = x_2|x_2| + (x_1-1)|x_1-1| \\<br />
x_2|x_2| = x_3|x_3| + (x_2-1)|x_2-1| \\<br />
\ldots \ldots \ldots \ldots\\<br />
x_n|x_n| = x_1|x_1| + (x_n-1)|x_1-1| \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają podany układ równań. Przepisujemy ten układ w postaci

\[<br />
(1) \qquad x_{i+1} | x_{i+i}| = x_i |x_i|-(x_i-1)|x_i-1|  \quad \textrm{dla} \quad  i = 1,\ldots,n,<br />
\]

przyjmując, że niewiadome są numerowane cyklicznie ($ x_{n+1} = x_1 $). Dodajemy wszystkie równania stronami, redukujemy występujące po obu stronach składniki $ x_1 |x_1| $, $ x_2 |x_2| $, $ \ldots $, $  x_n|x_n| $, i otrzymujemy równość

\[<br />
(2) \qquad \sum_{i=1}^n (x_i-1)|x_i-1| =0.<br />
\]

Zauważmy, że prawa strona $ i $-tego równania układu (1) ma postać różnicy $ \Delta_i = f(x_i)- f(x_i-1) $, gdzie

\[<br />
f(x)=x|x| = \left\{<br />
\begin{array}{ccl}<br />
x^2  & \textrm{dla} & x \geq 0,\\<br />
-x^2 & \textrm{dla} & x <0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Tak określona funkcja $ f $ jest ściśle rosnąca. W takim razie każda różnica $ \Delta_i $, jest dodatnia, czyli prawe strony wszystkich równań (1) są liczbami dodatnimi. Zatem i lewe strony muszą być liczbami dodatnimi, skąd wniosek, że wszystkie liczby $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ są dodatnie.

Gdyby wszystkie były mniejsze od $ 1 $, wówczas wszystkie składniki sumy (2) byłyby liczbami ujemnymi, wbrew temu, że wartość sumy wynosi $ 0 $. Zatem pewna liczba $ x_j $ spełnia nierówność $ x_j \geq 1 $, a więc $ j $-te równanie układu (1) możemy przepisać jako $ x^2_{j+1} = x^2_j- (x_j-1)^2 $. Stąd

\[<br />
x_{j+1} = \sqrt{x_j^2-(x_j-1)^2} = \sqrt{2x_j -1} \geq 1.<br />
\]

Powtarzając cyklicznie to samo rozumowanie stwierdzamy kolejno, że liczby $ x_{j+1}, x_{j+2}, \ldots, x_n, x_1, \ldots, x_j $ są większe lub równe $ 1 $. Warunek (2) implikuje wobec tego równość

\[<br />
\sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 = 0.<br />
\]

Zatem $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n= 1 $. Układ liczb $ (x_1,\ldots,x_n) = (1,\ldots,1) $ spełnia układ równań (1) i jest jego jedynym rozwiązaniem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź