XLVI OM - I - Zadanie 3

Czworokąt o bokach $ a $, $ b $, $ e $, $ d $ jest wpisany w okrąg o promieniu $ R $. Wykazać, że jeżeli $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2= 8R^2 $, to w czworokącie tym jeden z kątów jest prosty lub przekątne są prostopadłe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że żaden z kątów wewnętrznych rozważanego czworokąta $ ABCD $ nie jest prosty; należy wykazać, że wówczas $ AC \bot BD $. Czworokąt jest wpisany w okrąg, a zatem $  |\measuredangle DAB| + | \measuredangle BCD| = 180^\circ $. Nie tracąc ogólności przyjmijmy, że kąt $ DAB $ jest ostry, a kąt $ BCD $ jest rozwarty. Wobec tego średnica $ CE $ okręgu opisanego na trójkącie $ BCD $ przecina bok $ BD $; stąd zaś wynika, że punkty $ A $ i $ E $ leżą po tej samej stronie prostej $ BD $ (rysunek 1); zatem kąty wpisane $ DAB $ i $ DEB $, oparte na łuku $ BCD $, mają jednakową miarę:

\[<br />
| \measuredangle DEB| = | \measuredangle DAB | = \alpha < 90^\circ.<br />
\]

Punkt $ A $ nie pokrywa się z $ E $ (gdyby się pokrywał, kąty $ ABC $ i $ CDA $ byłyby proste, wbrew uczynionemu założeniu). Natomiast kąty $ EBC $ i $ CDE $ oczywiście są proste, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa

\[<br />
|EB|^2 + |BC|^2 = |CE|^2 = 4R^2, \quad     |CD|^2 + |DE|^2 = |CE|^2 = 4R^2,<br />
\]

i w myśl warunku zadania

\[<br />
|AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = 8R^2 = |EB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DE|^2.<br />
\]

Stąd

\[<br />
|AB|^2 + |AD|^2 = |EB|^2 + |ED|^2.<br />
\]

Do trójkątów $ ABD $ i $ EBD $ stosujemy wzór Carnota:

\[<br />
|AB|^2 + |AD|^2-|BD|^2 = 2 \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \cos \alpha,<br />
\]
\[<br />
|EB|^2 + |ED|^2-|BD|^2 = 2 \cdot |EB| \cdot |ED| \cdot \cos \alpha.<br />
\]

Lewe strony otrzymanych równości są równe; a ponieważ kąt $ \alpha $ jest ostry, zatem $ \cos \alpha \ne 0 $ i z przyrównania prawych stron wynika równość iloczynów $ |AB| \cdot |AD| $ oraz $ |EB| \cdot |ED| $. Stąd

\[<br />
\textrm{pole}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot |EB| \cdot |ED| \cdot \sin \alpha = \textrm{pole}(EBD);<br />
\]

to znaczy, że punkty $ A $ i $ E $ leżą w jednakowej odległości od prostej $ BD $ (po tej samej jej stronie); tak więc $ AE||BD $. Jednocześnie $ AE \bot AC $ (kąt $ CAE $, oparty na średnicy $ CE $, jest prosty). Zatem, ostatecznie, $ AC \bot BD $.

om46_1r_img_1.jpg
om46_1r_img_2.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź