XLVI OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $ a $, $ b $. Wykazać równoważność zdań:

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{a} + 1 > \sqrt{b},<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad ax + \frac{x}{x-1} \quad \text{dla każdego } x>1.<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy prawdziwość zdania (2). Podstawiając $ x = 1+\frac{1}{\sqrt{a}} $ otrzymujemy nierówność

\[<br />
a\left(1 + \frac{1}{\sqrt{a}}\right) + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{a}}\right)\sqrt{a} > b,<br />
\]

czyli $ a + \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1 > b $, czyli jeszcze inaczej:

\[<br />
(\sqrt{a}+1)^2 > b.<br />
\]

Ponieważ $ b $ jest liczbą dodatnią, wynika stąd warunek (1).

Na odwrót, z warunku (1) wyprowadzamy (2), jak następuje. Niech $ x $ będzie dowolną liczbą większą od $ 1 $. Oznaczmy różnicę $ x - 1 $ przez $ t $; jest to liczba dodatnia. Przekształcamy lewą stronę nierówności w warunku (2):

\[<br />
\begin{split}<br />
ax + \frac{x}{x-1} = & a(t + 1)+ \frac{t+1}{t} = \frac{at^2+at + t + 1}{t} =\\<br />
= & \frac{(t\sqrt{a}-1)^2}{t} + (\sqrt{a} + 1)^2 \geq (\sqrt{a}+1)^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeśli spełniony jest warunek (1), to liczba $ (\sqrt{a}+1)^2 $ jest większa od $ b $, więc na mocy powyższego oszacowania wartość wyrażenia $ ax + \frac{x}{x-1} $ jest większa od $ b $. Liczba $ x > 1 $ była wybrana dowolnie; mamy więc zdanie (2).

Wykazane implikacje (2) $ \Rightarrow $ (1) oraz (1) $ \Rightarrow $ (2) składają się na dowód żądanej równoważności.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź