XLVI OM - I - Zadanie 6

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ P $. Proste $ AP $, $ BP $, $ CP $ przecinają boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ odpowiednio w punktach $ A' $, $ B' $, $ C' $. Przyjmijmy: $ u=|AP|:|PA'| $, $ v=|BP|:|PB'| $, $ w=|CP|:|PC'| $. Wyrazić iloczyn $ uvw $ przez sumę $ u+v+w $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ S $ pole trójkąta $ ABC $, a przez $ S_a $, $ S_b $, $ S_c $ - odpowiednio pola trójkątów $ PBC $, $ PCA $, $ PAB $. Niech odcinek $ PD $ będzie wysokością w trójkącie $ PBC $, a odcinek $ AE $ - wysokością w trójkącie $ ABC $ (rysunek 3). Z podobieństwa trójkątów $ AEA' $ i $ PDA' $ wynika proporcja $ |AE|:|PD| = |A'A|:|A'P| $. Wobec tego

\[<br />
\frac{S}{S_a} = \frac{\frac{1}{2}|BC|\cdot |AE|}{\frac{1}{2}|BC|\cdot |PD|}=<br />
\frac{|AE|}{|PD|} = \frac{|A'A|}{|A'P|} = \frac{|A'P|+|PA|}{|A'P|}= 1+ \frac{|PA|}{|A'P|} = 1+u.<br />
\]

Tak więc

\[<br />
\frac{S_a}{S} = \frac{1}{1+u}, \quad \textrm{i analogicznie} \quad \frac{S_b}{S} = \frac{1}{1+v}, \quad \frac{S_c}{S} = \frac{1}{1+w}.<br />
\]

Otrzymujemy równość

\[<br />
\begin{split}<br />
1 = & \frac{S_a + S_b + S_c}{S} = \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1+v} + \frac{1}{1+w} = \\<br />
= & \frac{(1 + v)(1 + w) + (1 + w)(1 + u) + (1 + u)(1 + v)}{(1 + u)(1 + v)(1 + w)}= \\<br />
= & \frac{3 + 2(u + v + w) + (vw + wu + uv)}{1 + (u + v + w) + (vw + wu + uv) + uvw}.<br />
\end{split}<br />
\]

Licznik musi być równy mianownikowi. Daje to szukany związek:

\[<br />
uvw = u + v + w + 2.<br />
\]

om46_1r_img_3.jpg

Uwaga. Stosunki $ p=S_a \colon S $, $ q=S_b \colon S $, $ r=S_c \colon S $ wyznaczają położenie punktu $ P $ jednoznacznie. Mówiąc wyraźniej: dla każdej trójki liczb dodatnich $ p $, $ q $, $ r $ o sumie równej $ 1 $ istnieje dokładnie jeden punkt $ P $ leżący wewnątrz danego trójkąta $ ABC $, dla którego stosunki pól trójkątów $ PBC $, $ PCA $, $ PAB $ do pola trójkąta $ ABC $ są równe odpowiednio $ p $, $ q $, $ r $. Liczby $ p $, $ q $, $ r $ noszą nazwę współrzędnych barycentrycznych punktu $ P $; nazwa ta ma proste uzasadnienie fizyczne: punkt $ P $ jest środkiem ciężkości układu mas punktowych $ p $, $ q $, $ r $ umieszczonych w wierzchołkach $ A $, $ B $, $ C $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź