XLVI OM - I - Zadanie 7

(a) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

\[<br />
2f(f(x)) = f(x) \geq 0 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R}<br />
\]

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja różniczkowalna $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ nie równa tożsamościowo zeru, spełniająca warunki:

\[<br />
-1 \leq 2f(f(x)) = f(x) \leq 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbb{R}<br />
\]

Rozwiązanie

(a) Nie ma takiej funkcji. Dowód: Przypuśćmy, że funkcja $ f $ spełnia podane warunki. Nie jest tożsamościowo równa zeru, więc istnieje $ x_0 \in \mathbb{R} $, dla którego $ f(x_0)>0 $. Przyjmijmy

\[<br />
x_n = f(x_{n-1}) \quad \textrm{dla} \quad  n = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Z równości $ 2f(f(x_{n-1})) = f(x_{n-1}) $ dostajemy wniosek, że

\[<br />
2x_{n+1} = x_n \quad \textrm{dla} \quad n = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Stąd przez oczywistą indukcję

\[<br />
x_n = x_1/2^{n-1} \quad \textrm{dla} \quad   n = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Ciąg ($ x_n $) jest więc zbieżny do zera. Ponieważ $ x_1 = f(x_0) > 0 $, zatem wszystkie wyrazy $ x_n $ są (dla $ n \geq 1 $) liczbami dodatnimi.

Wobec ciągłości funkcji $ f $, wzór $ x_n = f(x_{n-1}) $ daje w granicy (przy $ n $ dążącym do nieskończoności) równość $ f(0) = 0 $. Funkcja $ f $ przyjmuje (z założenia) tylko wartości nieujemne, a zatem wartość $ 0 $ w punkcie $ x = 0 $ jest wartością minimalną. Wobec założenia różniczkowalności (na całym zbiorze $ \mathbb{R} $, więc w szczególności w punkcie $ 0 $) pochodna $ f'(0) $ musi być równa zeru. Ale pochodna ta jest jednocześnie granicą ciągu ilorazów różnicowych

\[<br />
\frac{f(x_n)-f(0)}{x_n-0} = \frac{f(x_n)}{x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{1}{2}.<br />
\]

Jest to, jak widać, ciąg stały, zbieżny do liczby $ 1/2 $, różnej od zera. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

(b) Takie funkcje istnieją. Przykład:

\[<br />
(1) \qquad<br />
f(x)=\left\{<br />
\begin{array}{ccl}<br />
-1-\dfrac{1}{2x} & \textrm{dla} & x<-1,\\<br />
\dfrac{x}{2} & \textrm{dla} & -1 \leq x \leq 1, \\<br />
1-\dfrac{1}{2x} & \textrm{dla} & x>1.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Jest to funkcja nieparzysta: $ f(-x) = -f(x) $. Wewnątrz każdego z przedziałów $ (-\infty;\ -1) $, $ (-1;\ 1) $, $ (1;\ \infty) $ jest ona różniczkowalna. Wykażemy, że jest też różniczkowalna w punktach $ 1 $ oraz $ -1 $ (i tym samym jest różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych).

Obliczamy iloraz różnicowy dla prawostronnego oraz dla lewostronnego otoczenia punktu $ x_0 = 1 $:

\[<br />
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
\frac{(1-\frac{1}{2x})-\frac{1}{2}}{x-1} & = \frac{1}{2x} \quad \textrm{dla} \quad x>1,\\<br />
\frac{\frac{x}{2}-\frac{1}{2}}{x-1} & = \frac{1}{2} \quad \ \ \textrm{dla} \quad -1<x<1.<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

Przy $ x $ dążącym do $ 1 $ oba uzyskane wyrażenia dążą do granicy $ 1/2 $, co oznacza, że w punkcie $ 1 $ obie pochodne jednostronne istnieją i są równe; istnieje więc pochodna $ f'(1) $ (jej wartość wynosi $ 1/2 $, co dla dalszego rozumowania nie ma znaczenia). Stąd, wobec nieparzystości funkcji $ f $, wynika istnienie pochodnej $ f'(-1) $ (także równej $ 1/2 $). Tak więc $ f $ jest funkcją różniczkowalną w całym zbiorze $ \mathbb{R} $.

Ze wzoru (1) określającego funkcję $ f $ widać, że jest ona ściśle rosnąca w każdym z przedziałów $ (-\infty;\ -1 \rangle $, $ \langle -1;\ 1 \rangle $, $ \langle 1;\ \infty) $; zatem, wobec ciągłości w punktach $ -1 $ i $ 1 $, funkcja ta jest rosnąca w całym zbiorze $ \mathbb{R} $. Granica funkcji $ f $ przy $ x \to -\infty $ równa się $ -1 $, a granica przy $ x \to \infty $ równa się $ 1 $. Wobec tego wszystkie wartości funkcji $ f $ leżą w przedziale $ (-1;\ 1) $.

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $ x $. Jak wykazaliśmy, $ f(x) $ jest liczbą z przedziału $ (-1;\ 1) $, a więc spełnia nierówność

\[<br />
(2) \qquad \quad -1 \leq f(x) \leq 1.<br />
\]

Przepisujemy odpowiedni fragment wzoru (1) (ze zmianą oznaczenia zmiennej):

\[<br />
(3) \qquad \quad f(y) = \frac{y}{2} \quad \textrm{dla}\quad y \in \langle -1;\ 1 \rangle.<br />
\]

Podstawiamy $ y = f(x) $ i otrzymujemy równość

\[<br />
(4) \qquad \quad f(f(x)) = \frac{f(x)}{2}.<br />
\]

Liczba $ x $ była wybrana dowolnie. Uzyskane związki (2) i (4) pokazują, że funkcja $ f $, określona wzorem (1), spełnia wszystkie postulowane warunki.

Uwaga. Ten przykład można rozmaicie modyfikować, otrzymując wiele innych przykładów. Narzucone warunki mówią tylko, że $ f \colon \mathbb{R} \to \langle -1;\ 1 \rangle $ ma być funkcją różniczkowalną, spełniającą równość $ f(y) = y/2 $ dla wszystkich liczb $ y $, które są wartościami tej funkcji. Skoro zaś zbiór jej wartości jest podzbiorem przedziału $ \langle -1;\ 1\rangle $, warunek ten będzie automatycznie spełniony, jeśli będzie prawdziwe zdanie (3). Wystarczy więc funkcję określoną w przedziale $ \langle -1;\ 1 \rangle $ wzorem (3) przedłużyć w dowolny sposób do funkcji określonej na całej prostej liczbowej, dbając jedynie o to, by była ona różniczkowalna (w szczególności w punktach sklejenia) oraz by jej wartości nie wychodziły poza przedział $ \langle -1;\ 1\rangle $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź