XLVI OM - I - Zadanie 9

Niech $ a $ i $ b $ będą liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa 1. Wykazać, że jeżeli $ a^3 $ i $ b^3 $ są liczbami wymiernymi, to $ a $ i $ b $ też są liczbami wymiernymi.

Rozwiązanie

Podnosimy równość $ a + b = 1 $ stronami do drugiej i trzeciej potęgi i otrzymujemy związki: $ a^2 +2ab + b^2 = 1 $, czyli

\[<br />
(1) \qquad a^2 + b^2 = 1-2ab,<br />
\]

oraz $ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 1 $, czyli

\[<br />
(2) \qquad a^3 + b^3 = 1-3ab(a + b)= 1-3ab.<br />
\]

Jeśli więc liczby $ a^3 $ oraz $ b^3 $ są wymierne, to z równości (2) wynika, że iloczyn $ ab = (1-a^3-b^3)/3 $ jest liczbą wymierną, i wobec równości (1) także suma $ a^2 + b^2 $ jest liczbą wymierną. W takim razie również liczba $ a^2 + ab + b^2 $ jest wymierna - a przy tym różna od zera, co widać na przykład z przekształcenia

\[<br />
4(a^2+ab + b^2) = 3(a + b)^2 + (a-b)^2 = 3 + (a-b)^2 > 0.<br />
\]

Liczby $ a^3 $ oraz $ b^3 $ są wymierne, więc wymierna jest też ich różnica $ a^3 -b^3 $. Stąd wniosek, że różnica

\[<br />
a-b= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab + b^2}<br />
\]

jest liczbą wymierną. W połączeniu z warunkiem $ a + b = 1 $ daje to żądaną konkluzję: liczby

\[<br />
a=\frac{(a + b) + (a-b)}{2}=\frac{1+ (a-b)}{2}\ \textrm{oraz}\  b=<br />
\frac{(a +b)-(a-b)}{2}=\frac{1-(a-b)}{2}<br />
\]

są wymierne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź