XLVI OM - I - Zadanie 10

Dana jest prosta $ k $ oraz leżące na niej trzy różne punkty. Każdy z nich jest początkiem pary półprostych; wszystkie te półproste leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi $ k $. Każda z tych par półprostych wyznacza z każdą inną czworokąt. Dowieść, że jeśli w dwa z tych czworokątów można wpisać okrąg, to również w trzeci można wpisać okrąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy trzy dane punkty przez $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $. Dla $ i = 1,2,3 $ oznaczmy przez $ p_i $, $ q_i $ dwie dane półproste o wspólnym początku $ A_i $, a przez $ l_i $ - dwusieczną utworzonego przez nie kąta. Te dwusieczne przecinają się (parami) w punktach $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $:

\[<br />
\{O_1\} = l_2 \cap l_3, \quad \{O_2\} = l_3 \cap l_1, \quad \{O_3\} = l_1 \cap l_2<br />
\]

(rysunek 5). Przyjmijmy ponadto oznaczenia (dla $ i,j \in \{1,2,3\}, i \ne j $):

  • $ h_i $ - odległość punktu $ O_i $ od prostej $ k $,
  • $ O_i' $ - rzut punktu $ O_i $ na prostą $ k $,
  • $ r_{ij} $ - odległość punktu $ O_i $ od półprostej $ p_j $,
  • $ T_{ij} $ - rzut punktu $ O_i $ na półprostą $ p_j $.

om46_1r_img_5.jpg

Punkt $ A_3 $ jest środkiem jednokładności, która punkty $ O_1 $, $ O_1' $, $ T_{13} $ odwzorowuje odpowiednio na punkty $ O_2 $, $ O_2' $, $ T_{23} $. Wynika stąd proporcja $ |O_1T_{13}| \colon |O_2T_{23}| = |O_1O_1'| \colon |O_2O_2'| $, czyli

\[<br />
\frac{r_{13}}{r_{23}}= \frac{h_1}{h_2}.<br />
\]

Przez cykliczne przesunięcie numerów $ 1, 2, 3 $ otrzymujemy (analogicznie):

\[<br />
\frac{r_{21}}{r_{31}}= \frac{h_2}{h_3} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{r_{32}}{r_{12}}= \frac{h_3}{h_1}.<br />
\]

Mnożąc stronami te trzy proporcje dostajemy po prawej stronie jedynkę, a po lewej - ułamek, którego licznik musi być wobec tego równy mianownikowi:

\[<br />
(1) \qquad \quad r_{13}r_{21}r_{32} = r_{23}r_{31}r_{12}.<br />
\]

Zauważmy teraz, że jeżeli w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $ p_1 $, $ q_1 $ oraz $ p_2 $, $ q_2 $ da się wpisać okrąg, to jego środek leży zarówno na dwusiecznej $ l_1 $, jak i na dwusiecznej $ l_2 $. Środkiem tym jest więc punkt $ O_3 $, a promień jest równy obu odległościom $ r_{31} = |O_3T_{31}| $ oraz $ r_{32} = |O_3T_{32}| $; tak więc $ r_{31} = r_{32} $.

Na odwrót, jeśli zachodzi równość $ r_{31} =r_{32} $, to punkt $ O_3 $ jest środkiem okręgu stycznego do półprostych $ p_1 $, $ q_1 $, $ p_2 $, $ q_2 $, a więc wpisanego w rozważany czworokąt. Zatem równość $ r_{31} = r_{32} $ jest warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia takiego okręgu.

I znów prżez analogię (przez cykliczne przesunięcie numerów) wnosimy, że w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $ p_2 $, $ q_2 $ oraz $ p_3 $, $ q_3 $ da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $ r_{12} = r_{13} $, natomiast w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $ p_3 $, $ q_3 $ oraz $ p_1 $, $ q_1 $ da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $ r_{23}= r_{21} $.

Zadanie sprowadza się więc do wykazania, że jeżeli zachodzą dwie spośród równości $ r_{12}=r_{13} $, $ r_{23} = r_{21} $, $ r_{31} = r_{32} $, to zachodzi także i trzecia. Ta implikacja jest zaś natychmiastowym wnioskiem z uzyskanej powyżej równości (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź