XLVI OM - I - Zadanie 12

Ciąg $ (x_n) $ jest określony następująco:

\[<br />
x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots .<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę ciąg liczb dodatnich $ (y_n) $ określony, jak następuje:

\[<br />
y_n= (2n-1)x_n \quad \textrm{dla} \quad n= 1,2,3,\ldots .<br />
\]

Podany wzór rekurencyjny dla ciągu $ (x_n) $ implikuje analogiczny wzór dla ciągu $ (y_n) $:

\[<br />
y_n = (2n-1) \cdot \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1}=<br />
\frac{(2n-1)(2n-3)}{2n} \cdot \frac{y_{n-1}}{2(n-1)-1},<br />
\]

czyli

\[<br />
(1) \qquad \quad y_n = \frac{2n-1}{2n} \cdot y_{n-1} \quad \textrm{dla} \quad n=2,3,4, \ldots.<br />
\]

Przyjmijmy dodatkowo $ y_0 = 1 $. Uzyskany wzór rekurencyjny jest wówczas słuszny także dla $ n= 1 $. Zauważmy teraz, że

\[<br />
(2) \qquad \quad y_{n-1}-y_n=\frac{2n}{2n-1} \cdot y_n-y_n=\frac{y_n}{2n-1} = x_n \quad \textrm{dla} \quad  n=1,2,3,\ldots.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(3) \qquad \quad x_1+x_2 + \ldots + x_n = (y_0-y_1) + (y_1-y_2) + \ldots +(y_{n-1} - y_n) = y_0 - y_n = 1 - y_n < 1<br />
\]

- co było do wykazania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź