XLVI OM - II - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) $ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $ P(5) $ dzieli się przez 2, a liczba $ P(2) $ dzieli się przez 5, to liczba $ P(7) $ dzieli się przez 10.

Rozwiązanie

Dowód opiera się na spostrzeżeniu, że jeśli $ P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n $ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla każdej pary różnych liczb całkowitych $ u $, $ v $ różnica $ P(u) - P(v) $ jest podzielna przez różnicę $ u-v $. Istotnie:

\[<br />
P(u)-P(v) = a_1(u-v) + a_2(u^2-v^2) + \ldots + a_n(u^n-v^n),<br />
\]

a każda z różnic $ u^k - v^k $ rozkłada się na czynniki:

\[<br />
u^k-v^k = (u-v)(u^{k-1}v^0 + u^{k-2}v^1+ \ldots + u^0 v^{k-1}).<br />
\]

Przyjmując w szczególności $ u = 7 $, $ v = 5 $ widzimy, że różnica $ P(7)-P(5) $ dzieli się przez $ 2 $; przyjmując następnie $ u = 7 $, $ v = 2 $ stwierdzamy, że różnica $ P(7)-P(2) $ dzieli się przez $ 5 $. Stąd, wobec warunków danych w założeniu zadania, wnosimy, że liczba $ P(7) $ dzieli się zarówno przez $ 2 $, jak i przez $ 5 $. A ponieważ liczby $ 2 $ i $ 5 $ są względnie pierwsze, zatem liczba $ P(7) $ dzieli się przez iloczyn $ 2 \cdot 5 $, czyli przez $ 10 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź