XLVI OM - II - Zadanie 2

W sześciokącie wypukłym $ ABCDEF $ zachodzą następujące równości: $ |AB| = |BC| $, $ |CD| = |DE| $, $ |EF| = |FA| $. Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów $ BCD $, $ DEF $ i $ FAB $ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $ C $, $ E $, $ A $ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

  • $ k_1 $ - okrąg o środku $ D $ i promieniu $ |DC| = |DE| $;
  • $ k_2 $ - okrąg o środku $ F $ i promieniu $ |FE| = |FA| $;
  • $ k_3 $ - okrąg o środku $ B $ i promieniu $ |BA| = |BC| $.

Okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ przecinają się w punkcie $ A $; oznaczmy drugi punkt ich przecięcia przez $ A' $ (por. Uwaga 2); podobnie, oznaczmy przez $ C' $ drugi (oprócz $ C $) punkt przecięcia okręgów $ k_3 $ i $ k_1 $, a przez $ E' $ - drugi (oprócz $ E $) punkt przecięcia okręgów $ k_1 $ i $ k_2 $ (rysunek 7). Punkty $ A $ i $ A' $ są położone symetrycznie względem prostej przechodzącej przez środki $ F $ i $ B $ okręgów $ k_2 $ i $ k_3 $; zatem $ AA' \bot FB $. To znaczy, że prosta $ AA' $ zawiera wysokość trójkąta $ FAB $, poprowadzoną z wierzchołka $ A $; jest więc jedną z trzech prostych, których dotyczy teza zadania. Pozostałe dwie proste, o które chodzi, to - analogicznie - proste $ CC' $ i $ EE' $.

om46_2r_img_7.jpg

Prosta $ AA' $ jest osią potęgową pary okręgów $ k_2 $, $ k_3 $; prosta $ CC' $ jest osią potęgową pary $ k_3 $, $ k_1 $, a prosta $ EE' $ - pary $ k_1 $, $ k_2 $. Wiadomo (por. Uwaga 1), że dla każdej trójki okręgów trzy osie potęgowe wyznaczone przez pary tych okręgów tworzą pęk prostych przecinających się w jednym punkcie lub równoległych. W rozważanej sytuacji proste $ AA' $, $ CC' $, $ EE' $, jako prostopadłe odpowiednio do boków $ FB $, $ BD $, $ DF $ trójkąta $ DFB $, nie mogą być równoległe - a zatem przecinają się w jednym punkcie. Dowód jest zakończony.

Uwaga 1. Dla Czytelników, którzy nie są dość oswojeni z twierdzeniem o współpękowości osi potęgowych przedstawimy szkicowo jego dowód, wraz z określeniami użytych pojęć.

Niech $ P $ będzie punktem leżącym w płaszczyźnie okręgu $ k $ i niech $ l $ będzie dowolną prostą przechodzącą przez punkt $ P $ i przecinającą okrąg $ k $ w dwóch punktach $ U $ i $ V $. Wartość iloczynu $ |PU| \cdot |PV| $ zależy tylko od okręgu $ k $ i punktu $ P $, nie zależy natomiast od wyboru prostej $ l $. [Uzasadnienie: przypuśćmy, że inna prosta $ l' $ przecina okrąg $ k $ w punktach $ U' $ i $ V' $; dobrze znana równość $ |PU| \cdot |PV | = |PU'| \cdot |PV'| $ wynika z podobieństwa trójkątów $ PU U' $ i $ PV'V $.]

Tę stałą wartość, wziętą ze znakiem plus, gdy punkt $ P $ leży na zewnątrz okręgu $ k $, a ze znakiem ,,minus'', gdy $ P $ leży wewnątrz $ k $, nazywamy potęgą punktu $ P $ względem okręgu $ k $; jest ona równa różnicy $ |OP|^2 - r^2 $, gdzie przez $ O $ i $ r $ został oznaczony środek i promień okręgu $ k $. [Uzasadnienie: niech $ UV $ będzie średnicą zawartą w prostej $ OP $; jeden z odcinków $ PU $, $ PV $ ma długość $ |OP|+r $, a drugi $ \pm (|OP| - r) $; znak ,,plus'' lub ,,minus'' w zależności od tego, czy punkt $ P $ leży na zewnątrz $ k $, czy wewnątrz $ k $; zatem (odpowiednio) $ |PU| \cdot |PV| = \pm (|OP|^2-r^2) $.]

Niech będą dane dwa okręgi o niepokrywających się środkach $ O_1 $, $ O_2 $ i promieniach $ r_1 $, $ r_2 $. Jeżeli punkt $ P $ ma równe potęgi względem obu tych okręgów, to ta sama własność przysługuje także punktowi $ Q $ określonemu jako rzut prostokątny punktu $ P $ na prostą $ O_1O_2 $; wynika to z równości $ |O_1Q|^2-|O_2Q|^2 = |O_1P|^2-|O_2P|^2 = r_1^2-r_2^2 $; przy tym na prostej $ O_1O_2 $ jest dokładnie jeden punkt $ Q $ taki, że $ |O_1Q|^2-|O_2Q|^2 = r_1^2 - r_2^2 $. Stąd wniosek, że zbiór punktów o równych potęgach względem dwóch danych okręgów jest prostą prostopadłą do $ O_1O_2 $; nazywamy ją osią potęgową tej pary okręgów. Gdy okręgi przecinają się w dwóch punktach, wówczas każdy z tych punktów ma zerową potęgę względem obu okręgów, a więc oś potęgowa jest prostą przechodzącą przez punkty przecięcia. Gdy okręgi są styczne, oś potęgowa jest prostą styczną do nich obu w punkcie ich styczności.

Jeżeli rozważamy dowolną trójkę okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ (o parami różnych środkach) i jeśli te środki nie są współliniowe, to oś potęgowa pary $ k_1 $, $ k_3 $ przecina oś potęgową pary $ k_2 $, $ k_3 $. Punkt przecięcia ma jednakową potęgę względem wszystkich trzech okręgów, a więc leży też na osi potęgowej pary $ k_1 $, $ k_2 $. Jeśli natomiast środki okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ są współliniowe, to każda z tych trzech osi jest prostopadła do prostej przechodzącej przez środki. Stąd teza twierdzenia: trzy rozważane osie potęgowe albo przecinają się w jednym punkcie albo są równoległe.

Uwaga 2. W treści zadania jest mowa o trójkątach $ BCD $, $ DEF $, $ FAB $; należy stąd wnosić, że każdy z kątów $ BCD $, $ DEF $, $ FAB $ jest mniejszy od kąta półpełnego. Wszelako rozumowanie pozostaje w mocy także w przypadku, gdy któryś z tych kątów jest półpełny (i odpowiedni trójkąt degeneruje się do odcinka; przez ,,prostą zawierającą wysokość'' należy wówczas rozumieć prostą prostopadłą do owego odcinka, przechodzącą przez odpowiedni wierzchołek). Dwa spośród okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ są wtedy styczne; ale ich oś potęgowa nadal jest prostą zawierającą wysokość (w sprecyzowanym przed chwilą sensie), więc dalsze rozumowanie nie wymaga żadnych modyfikacji.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź