XLVI OM - II - Zadanie 3

Dane są liczby niewymierne dodatnie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, przy czym $ a+b = 1 $. Udowodnić, że $ c+d = 1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość $ [na] +[nb] = [nc] + [nd] $.

Uwaga: $ [x] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ x $.

Rozwiązanie

Weźmy dowolną liczbę naturalną $ n \geq 1 $. W myśl określenia symbolu $ [x] $,

\[<br />
[na] \leq na < [na] + 1, \quad [nc] \leq nc < [nc] + 1,<br />
\]
\[<br />
[nb] \leq nb < [nb]+ 1, \quad [nd] \leq nd < [nd] + 1.<br />
\]

Iloczyny $ na $, $ nb $, $ nc $, $ nd $ nie mogą być liczbami całkowitymi (bo liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są z założenia niewymierne), a więc w żadnym z wypisanych związków nie może zachodzić równość. Dodając nierówności w lewym ,,słupku'' i w prawym ,,słupku'' (i korzystając z założenia, że $ a + b=1 $) otrzymujemy wobec tego zależności

\[<br />
(1) \qquad \quad k_n<n<k_n + 2, \quad l_n < n(c + d)<l_n + 2,<br />
\]

gdzie

\[<br />
k_n = [na] + [nb], \quad l_n = [nc] + [nd].<br />
\]

Liczby $ n $ oraz $ k_n $ są całkowite, więc pierwsza z nierówności podwójnych (1) implikuje równość $ n = k_n + 1 $.

Jeśli teraz $ c + d = 1 $, to liczba $ l_n $, podobnie jak $ k_n $, musi (na mocy drugiej pary nierówności (1)) spełniać równość $ n = l_n + 1 $; tak więc $ k_n = l_n( = n-1) $ dla $ n = 1,2,3,\ldots $.

Na odwrót, zakładając, że $ k_n = l_n $ dla $ n = 1,2,3,\ldots $, otrzymujemy z drugiej pary związków (1) nierówność podwójną

\[<br />
\frac{k_n}{n} < c+d < \frac{k_n+2}{n} \quad \textrm{dla} \quad n=1,2,3,\ldots;<br />
\]

a ponieważ $ k_n = n - 1 $, zatem

\[<br />
1-\frac{1}{n} < c+d < 1+ \frac{1}{n} \quad \textrm{dla} \quad n=1,2,3,\ldots.<br />
\]

Jedyną wartością sumy $ c + d $ spełniającą ten nieskończony układ nierówności podwójnych jest liczba $ 1 $.

Wykazaliśmy więc żądaną równoważność:

\[<br />
(c + d=1)  \Longleftrightarrow  (k_n = l_n \quad \textrm{dla} \quad n = 1,2,3,\ldots ).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź