XLVI OM - II - Zadanie 4

Liczby dodatnie $ x_l, x_2, \ldots , x_n $ spełniają warunek

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2<br />
\]

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $ t $ większej od 1 zachodzi nierówność

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy krótko:

\[<br />
(1) \qquad \quad f(t) = \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} - \sum_{i=1}^n x_i^t \quad \textrm{dla} \quad t \geq 1.<br />
\]

Wiedząc, że $ f(1) \geq 0 $, mamy udowodnić, że $ f(t) \geq 0 $ dla $ t > 1 $. W tym celu oczywiście wystarczy wykazać, że

\[<br />
(2) \qquad \quad f(t) \geq f(1) \quad \textrm{dla} \quad t>1.<br />
\]

Ta zaś nierówność wynika z następującego przekształcenia:

\[<br />
f(t)-f(1) = \sum_{i=1}^n \left( (x_i^{t+1} - x_i^t) - (x_i^2 - x_i) \right) =<br />
\sum_{i=1}^n x_i (x_i-1)(x_i^{t-1} -1).<br />
\]

Dla każdego numeru $ i = 1,\ldots,n $ i dla każdej wartości $ t>1 $ obie różnice w nawiasach są liczbami dodatnimi, obie są liczbami ujemnymi, lub obie są równe zeru. Uzyskana suma jest więc liczbą nieujemną; nierówność (2) jest wykazana.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź