XLVI OM - II - Zadanie 5

Okręgi wpisane w ściany $ ABC $ i $ ABD $ czworościanu $ ABCD $ są styczne do krawędzi $ AB $ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $ AC $, $ BC $ oraz $ AD $, $ BD $ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że okrąg wpisany w ścianę $ ABC $ jest styczny do krawędzi $ AC $, $ BC $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ P $, $ Q $, $ T $, a okrąg wpisany w ścianę $ ABD $ jest styczny do krawędzi $ AD $, $ BD $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ R $, $ S $, $ T $ (ten sam punkt $ T $, zgodnie z założeniem). Mamy następujące równości odcinków stycznych:

\[<br />
(1) \qquad \quad |AP| = |AT| = |AR|, \quad  |BQ| = |BT| = |BS|,<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad |CP| = |CQ|, \quad |DR| = |DS|.<br />
\]

Jeżeli punkt $ T $ jest środkiem krawędzi $ AB $, to trójkąty $ ABC $ i $ ABD $ są równoramienne, a proste $ PQ $ i $ RS $ są równoległe do prostej $ AB $; punkty $ P $ i $ Q $ są położone symetrycznie względem płaszczyzny przechodzącej przez $ T $ i prostopadłej do $ AB $, punkty $ R $ i $ S $ także są położone symetrycznie względem tej płaszczyzny, a zatem odcinki $ PQ $ i $ RS $ są podstawami trapezu równoramiennego, na którym daje się opisać okrąg.

W dalszym ciągu zakładamy, że punkt $ T $ nie jest środkiem krawędzi $ AB $; nie tracąc ogólności przyjmijmy, że $ |AT| > |BT| $. Żadna z prostych $ PQ $ i $ RS $ nie jest równoległa do $ AB $. Punkty $ A $, $ B $, $ P $, $ Q $ leżą w płaszczyźnie ściany $ ABC $, więc prosta $ PQ $ przecina prostą $ AB $; oznaczmy punkt przecięcia przez $ U $. Analogicznie, punkty $ A $, $ B $, $ R $, $ S $ leżą w płaszczyźnie ściany $ ABD $, więc prosta $ RS $ przecina prostą $ AB $; oznaczmy punkt przecięcia przez $ V $.

Punkty $ U $ i $ V $ leżą na półprostej $ AB^\to $, poza odcinkiem $ AB $; wobec tego

\[<br />
(3) \qquad |AU| = |AB| + |BU| \quad \textrm{oraz}\quad  |AV| = | AB| + |BV|.<br />
\]

(Rysunek 10 przedstawia usytuowanie rozważanych punktów i prostych oddzielnie na płaszczyźnie $ ABC $ i na płaszczyźnie $ ABD $.)

Na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych i siecznych (zastosowanego do okręgów wpisanych w trójkąty $ ABC $ i $ ABD $) mamy równości:

\[<br />
(4) \qquad |UP|\cdot |UQ| = |UT|^2, \quad |VR|\cdot |VS| = |VT|^2.<br />
\]

om46_2r_img_10.jpg

Zastosujmy teraz twierdzenie Menelausa do trójkąta $ ABC $ przeciętego prostą $ PQ $ oraz do trójkąta $ ABD $ przeciętego prostą $ RS $:

\[<br />
\frac{|AU|}{|UB|} \cdot \frac{|BQ|}{|QC|} \cdot \frac{|CP|}{|PA|} =1 \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|AV|}{|VB|} \cdot \frac{|BS|}{|SD|} \cdot \frac{|DR|}{|RA	|} =1.<br />
\]

Wobec związków (2) i (1) dostajemy stąd proporcje

\[<br />
\frac{|AU|}{|BU|}=\frac{|AP|}{|BQ|}=\frac{|AT|}{|BT|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|AV|}{|BV|}=\frac{|AR|}{|BS|}=\frac{|AT|}{|BT|}.<br />
\]

Zastępując $ |AU| $ i $ |AV| $ przez prawe strony wzorów (3) otrzymujemy równania, z których obliczamy:

\[<br />
(5) \qquad \quad |BU|= \frac{|AB| \cdot |BT|}{|AT|-|BT|} \quad \textrm{oraz} \quad<br />
|BV|= \frac{|AB| \cdot |BT|}{|AT|-|BT|}.<br />
\]

Zatem $ |BU| = |BV| $. Stąd wniosek, że punkt $ U $ pokrywa się z $ V $; jest więc punktem przecięcia prostych $ PQ $ i $ RS $.

Para prostych przecinających się wyznacza płaszczyznę. Tak więc punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą na jednej płaszczyźnie. Skoro zaś punkty $ U $ i $ V $ pokrywają się, zatem ze związków (4) otrzymujemy równość $ |UP| \cdot |UQ| = |UR| \cdot |US| $. Wynika z niej, że punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ leżą na jednym okręgu.

Uwaga 1. Twierdzenie Menelausa zostało wykorzystane jedynie do wyprowadzenia równości (5); nie jest ono jednak do tego niezbędne. Proponujemy Czytelnikom znalezienie innych uzasadnień wzorów (5).

Uwaga 2. Doszedłszy do wniosku, że punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ są współpłaszczyznowe, można rozumować w sposób następujący: przez środek okręgu $ PQT $ prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny $ ABC $, a przez środek okręgu $ RST $ prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny $ ABD $. Proste te leżą w jednej płaszczyźnie (prostopadłej do $ AB $ i przechodzącej przez punkt $ T $), a przy tym nie są równoległe, zatem przecinają się. Z równości (1) łatwo wynika, że punkt ich przecięcia jest jednakowo odległy od punktów $ P $, $ Q $, $ T $, $ R $, $ S $ - jest więc środkiem sfery, na której leżą te punkty. Sfera ta w przecięciu z płaszczyzną $ PQRS $ daje poszukiwany okrąg.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź