XLVI OM - II - Zadanie 6

Kwadrat o boku długości $ n $ dzielimy na $ n^2 $ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n $, dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

Rozwiązanie

Jeśli $ n $ jest liczbą parzystą, to kwadrat o wymiarach $ n \times n $ można pociąć na kwadraty $ 2 \times 2 $. Przyjmijmy więc, że $ n $ jest liczbą nieparzystą. Kwadrat $ n \times n $ składa się z $ n $ rzędów, po $ n $ pól (kwadracików jednostkowych) w każdym rzędzie. Malujemy te rzędy na czarno i biało, na przemian (w ,,zebrę''). Wobec nieparzystości $ n $ oba rzędy skrajne otrzymują jednakowy kolor - przyjmijmy, że czarny. Różnica między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w całej tak pomalowanej szachownicy wynosi $ n $.

Przypuśćmy, że podział na kwadraty $ 2 \times 2 $ i $ 3 \times 3 $ jest wykonalny. Każdy kwadrat $ 2 \times 2 $ ma dwa pola białe i dwa czarne. Każdy kwadrat $ 3 \times 3 $ ma trzy pola białe i sześć czarnych lub na odwrót. Różnica między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w kwadracie $ 2 \times 2 $ wynosi $ 0 $, a w kwadracie $ 3 \times 3 $ wynosi $ 3 $ lub $ -3 $. Dodając te wszystkie różnice (odpowiadające poszczególnym kwadratom podziału) otrzymujemy liczbę podzielną przez $ 3 $. Ale, jednocześnie, obliczona w ten sposób suma równa się różnicy między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w całej szachownicy, czyli równa się $ n $.

Wniosek: jeśli rozważany podział jest wykonalny, to liczba $ n $ jest podzielna przez $ 2 $ lub przez $ 3 $. Na odwrót, jeśli $ n $ dzieli się przez $ 2 $ lub przez $ 3 $, to kwadrat $ n \times n $ daje się pociąć w żądany sposób (na same tylko kwadraty o wymiarach $ 2 \times 2 $ lub o wymiarach $ 3 \times 3 $).

Uwaga 1. Gdy $ n $ dzieli się przez $ 6 $, to oczywiście można szachownicę pociąć zarówno na kwadraty $ 2 \times 2 $, jak i na kwadraty $ 3 \times 3 $. Ponadto możliwe są podziały ,,mieszane''; Czytelnik może przekonać się (jest to łatwe ćwiczenie), że jeśli $ n $ jest liczbą większą od $ 6 $ i podzielną przez $ 2 $ lub przez $ 3 $, to kwadrat $ n \times n $ daje się pociąć na kwadraty $ 2 \times 2 $ i $ 3 \times 3 $, z wykorzystaniem obu rodzajów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź