XLVI OM - III - Zadanie 4

Dla danej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

\[<br />
x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots  + \frac{x_n^n}{n}<br />
\]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

\[<br />
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n.<br />
\]

Rozwiązanie

Kluczem do rozwiązania jest nierówność

\[<br />
(1) \qquad \quad \frac{x^k}{k} + \frac{1}{x} \geq  1 + \frac{1}{k} \quad \textrm{dla}   \quad x>0,\ k = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Oto jej dowód: różnica między wyrażeniem po lewej stronie (1) i wyrażeniem po prawej stronie (1), pomnożona przez dodatni czynnik $ kx $, jest równa

\[<br />
(x^{k+1}+k)-(kx + x) = x(x^k-1) + k(1-x) = x(x-1) \sum_{i=0}^{k-1} x^i + k(1-x) =<br />
\]
\[<br />
= (x-1) \left( \sum_{j=1}^k x^j-k \right) = (x-1) \sum_{j=1}^k (x^j-1) =<br />
\sum_{j=1}^k (x-1)(x^j-1).<br />
\]

Ta suma jest nieujemna, bo wszystkie jej składniki są liczbami nieujemnymi.

Podstawiamy w (1) $ x = x_k $ dla $ k = 1,\ldots,n $ (gdzie $ x_1,\ldots,x_n $ są danymi w zadaniu liczbami) i dodajemy uzyskane nierówności stronami:

\[<br />
\sum_{k=1}^n \frac{x_k^k}{k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k}  \geq<br />
\sum_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.<br />
\]

Druga suma po lewej stronie ma wartość $ n $, zgodnie z warunkiem danym w założeniach. A zatem

\[<br />
\sum_{k=1}^n \frac{x_k^k}{k} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.<br />
\]

Gdy $ x_1 = \ldots = x_n = 1 $, nierówność ta staje się równością. Tak więc minimalna wartość badanego wyrażenia wynosi $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\ldots + \frac{1}{n} $.

Uwaga 1. Wyjściową nierówność (1) można uzasadnić wieloma sposobami. Na przykład tak: średnia arytmetyczna układu $ k+1 $ liczb, z których jedna jest równa $ x^k $, a pozostałe są równe $ 1/x $, jest nie mniejsza niż średnia geometryczna tych liczb:

\[<br />
\frac{1}{1+k} \left( x^k + \underbrace{\frac{1}{x} + \ldots + \frac{1}{x}}_k \right) \geq \left( x^k \cdot \underbrace{\frac{1}{x} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{x}}_k \right)^{1/(k+1)}=1;<br />
\]

stąd $ x^k + \dfrac{k}{x} \geq k+1 $, co jest równoważnym zapisem nierówności (1).

Można także w znanej nierówności Bernoulli'ego

\[<br />
(1 + a)^k \geq 1 + ka,<br />
\]

zachodzącej dla wszystkich liczb $ a \geq -1 $ (oraz dla $ k = 1,2,3,\ldots $), podstawić $ a = x-1 $, otrzymując: $ x^k \geq 1 + k(x - 1) $. Stąd

\[<br />
\frac{x^k}{k} + \frac{1}{x} \geq \frac{1+k(x-1)}{k} + \frac{1}{x} = x+\frac{1}{x} + \frac{1}{k} -1 = 1+ \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + \frac{1}{k} \geq 1+\frac{1}{k}.<br />
\]

Można wreszcie potraktować lewą stronę (1) jako funkcję zmiennej $ x $ przebiegającej przedział $ (0;\ \infty) $ i przekonać się, że jej pochodna jest ujemna w przedziale $ (0;\ 1) $ oraz dodatnia w $ (1;\ \infty) $, wobec czego dla $ x = 1 $ osiągana jest wartość minimalna, równa $ 1 + (1/k) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź