XLV OM - I - Zadanie 1

Udowodnić, że układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
a^2 - b = c^2 \\<br />
b^2 - a = d^2<br />
\end{cases}<br />
\]

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $ a,b,c,d > 0 $ spełniają podany układ. Różnice $ a^2 - c^2 = b $ oraz $ b^2 - d^2 = a $ są wówczas liczbami dodatnimi. Zachodzą więc nierówności $ a> c $ oraz $ b> d $, czyli $ a \geq c +1 \geq 2 $ oraz $ b \geq   d +1 \geq 2 $. Stąd

\[<br />
b = a^2-c^2 \geq a^2-(a-1)^2 = 2a-1<br />
\]

oraz

\[<br />
a = b^2-d^2 \geq b^2 -(b-1)^2 = 2b-1.<br />
\]

Dodając te nierówności stronami dostajemy zależność $ a + b \geq 2a + 2b - 2 $, czyli $ a + b \leq 2 $. Jest to sprzeczność z uzyskanymi wcześniej oszacowaniami $ a \geq 2 $ oraz $ b\geq 2 $. Dowodzi ona, że rozważany układ równań nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź