XLV OM - I - Zadanie 2

Ciąg funkcji $ f_0, f_1, f_2, \ldots $ jest określony następująco:

\[<br />
f_0(x) = |x| \quad \text{ dla wszystkich } x \in \mathbb{R},<br />
\]
\[<br />
f_{n+1}(x) = |f_n(x)-2| \quad \text{ dla } n=O,1,2, \ldots \text{ oraz wszystkich } x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Dla każdej liczby naturalnej $ n $ rozwiązać równanie $ f_n(x) = 1 $.

Rozwiązanie

Oznaczmy symbolem $ M_k $ zbiór wszystkich liczb całkowitych nieparzystych z przedziału $ \langle 1; 2k+1 \rangle $. Weźmy dowolne liczby całkowite $ m \geq 1 $, $ k \geq 0 $. Zgodnie z określeniem rozważanego ciągu funkcji, następujące zdania (1), (2), (3) są kolejno równoważne:

\[<br />
(1) \qquad f_m(x) \in M_k;<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad |f_{m-1}(x)-2| \in M_k;<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad f_{m-1}(x)-2 \in M_k \quad \textrm{lub} \quad 2-f_{m-1}(x) \in M_k.<br />
\]

Wszystkie funkcje $ f_n $ przyjmują wyłącznie wartości nieujemne; wynika to natychmiast z ich określenia rekurencyjnego. Zatem jedyną liczbą ze zbioru $ M_k $, która może być równa różnicy $ 2 -f_{m-1}(x) $, jest liczba $ 1 $. Wobec tego drugi człon alternatywy (3) jest równoważny temu, że $ f_{m-1}(x) = 1 $. Ciąg kolejno równoważnych zdań (1), (2), (3) może więc być kontynuowany następująco:

\[<br />
(4) \qquad f_{m-1}(x)-2 \in M_k \quad \textrm{lub} \quad  f_{m-1}(x) = 1;<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad f_{m-1}(x)\in M_{k+1}.<br />
\]

Otrzymaliśmy w ten sposób równoważność między warunkami (1) i (5):

\[<br />
f_m(x) \in M_k \Longleftrightarrow f_{m-1}(x) \in M_{k+1}.<br />
\]

Ustalmy $ n $. Z uzyskanej równoważności wnioskujemy kolejno, że

\[<br />
\begin{split}<br />
f_n(x)=1 &\Longleftrightarrow f_n(x)\in M_0 \Longleftrightarrow f_{n-1}(x)\in M_1 \Longleftrightarrow f_{n-2}(x)\in M_2 \Longleftrightarrow \\<br />
& \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow f_0(x) \in M_n \Longleftrightarrow |x| \in M_n<br />
\end{split}<br />
\]

(bo $ f_0(x) = |x| $, z definicji funkcji $ f_0 $.) Warunek $ |x| \in M_n $ oznacza oczywiście, że $ x $ jest liczbą nieparzystą z przedziału $ \langle-2n- 1;2n +1\rangle $.

Wniosek: Dla dowolnie ustalonej liczby naturalnej $ n $, zbiór rozwiązań równania $ f_n(x) = 1 $ tworzą wszystkie liczby całkowite nieparzyste z przedziału $ \langle-2n- 1;2n +1\rangle $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź