XLV OM - I - Zadanie 4

Dany jest okrąg o środku $ O $, punkt $ A $ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $ PQ $, nie będąca średnicą, przechodząca przez $ A $. Proste $ p $ i $ q $ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Prosta $ l $ przechodząca przez punkt $ A $ i prostopadła do $ OA $ przecina proste $ p $ i $ q $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że $ |AK|=|AL| $.

Rozwiązanie

om45_1r_img_1.jpg
Rozpoczynamy od spostrzeżenia, że punkty $ P $ i $ K $ leżą po jednej stronie prostej $ OA $, a punkty $ Q $ i $ L $ leżą po drugiej jej stronie (niezależnie od tego, czy punkt $ A $ leży na odcinku $ PQ $ bliżej końca $ P $ czy końca $ Q $). Cięciwa $ PQ $ danego okręgu nie jest jego średnicą, więc proste styczne $ p $ i $ q $ przecinają się. Oznaczmy punkt przecięcia przez $ S $.

Na trójkącie $ OAK $ opisujemy okrąg $ \omega_1 $. Na trójkącie $ OAL $ opisujemy okrąg $ \omega_2 $. Kąty $ OAK $ i $ OAL $ są z założenia proste, więc średnicami tych okręgów są (odpowiednio) odcinki $ OK $ i $ OL $ (rysunek 1).

Proste $ p $ i $ q $, styczne do danego okręgu, są prostopadłe do jego promieni $ OP $ i $ OQ $; kąty $ OPK $ i $ OQL $ są więc proste. Zatem okrąg $ \omega_1 $ przechodzi przez punkt $ P $, a okrąg $ \omega_2 $ przechodzi przez punkt $ Q $. (W szczególnym przypadku, gdy punkt $ A $ jest środkiem cięciwy $ PQ $ i w konsekwencji punkty $ K $ i $ L $ pokrywają się, odpowiednio, z punktami $ P $ i $ Q $ -- nie można wprawdzie mówić o kątach $ OPK $ i $ OQL $, ale konkluzja, że $ P \in \omega_1 $, $ Q \in \omega_2 $, jest oczywiście nadal słuszna.)

Kąty $ OPA $ i $ OKA $ są kątami wpisanymi w okrąg $ \omega_1 $, opartymi na wspólnym łuku $ OA $ (korzystamy tu z wcześniejszego spostrzeżenia, że punkty $ P $ i $ K $ leżą po tej samej stronie prostej $ OA $). Mają więc te kąty jednakową rozwartość: $ |\measuredangle OPA| = |\measuredangle OKA| $; podobnie $ |\measuredangle OQA| = |\measuredangle OLA| $ (kąty wpisane w okrąg $ \omega_2 $, oparte na wspólnym łuku $ OA $). Zauważmy wreszcie, że

\[<br />
|\measuredangle OPA| = |\measuredangle OPQ| = |\measuredangle OQP| = |\measuredangle OQA|,<br />
\]

bowiem trójkąt $ POQ $ jest równoramienny.

Z uzyskanych równości kątów wynika, że

\[<br />
|\measuredangle OKA| = |\measuredangle OLA|.<br />
\]

Wobec tego trójkąty prostokątne $ OAK $ i $ OAL $ są przystające i otrzymujemy żądaną równość odcinków $ |AK| = |AL| $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź