XLV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ x^3 + ax^2 + bx + c $ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $ x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c) $ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczmy dane w zadaniu wielomiany przez $ P(x) $ i $ Q(x) $:

\[<br />
P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,  \quad    Q(x) = x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x + \frac{1}{8}(ab - c).<br />
\]

Zastępujemy w wielomianie $ P(x) $ zmienną $ x $ przez różnicę $ 2x - a $ i przekształcamy uzyskane wyrażenie:

\[<br />
\begin{split}<br />
P(2x - a) &= (2x - a)^3 + a(2x - a)^2 + b(2x - a) + c =\\<br />
&= -8(-x^3 + ax^2- \frac{1}{4} (a^2 + b)x + \frac{1}{8}(ab-c)) = -8Q(-x).<br />
\end{split}<br />
\]

Z otrzymanej tożsamości

\[<br />
(1) \qquad 8Q(-x) = -P(2x-a)<br />
\]

natychmiast wynika, że jeśli liczba $ \xi $ jest pierwiastkiem wielomianu $ P(x) $, to liczba $ -\frac{1}{2}(\xi + a) $ jest pierwiastkiem wielomianu $ Q(x) $.

A zatem, jeżeli liczby $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ są trzema różnymi pierwiastkami wielomianu $ P(x) $, to liczby $ -\frac{1}{2}(x_1 + a) $, $ -\frac{1}{2}(x_2 + a) $, $ -\frac{1}{2}(x_3 + a) $ są trzema różnymi pierwiastkami wielomianu $ Q(x) $ .

{\kom Uwaga.} Pomysł, aby przekształcać wyrażenie $ P(2x - a) $ nie wymaga żadnego ,,objawienia''. Sama postać wielomianów $ P(x) $ i $ Q(x) $ (a także i teza zadania \ldots) sugeruje, że - być może - istnieją stałe $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, dla których równość

\[<br />
(2) \qquad  P(\alpha x + \beta) = \gamma Q(x)<br />
\]

jest spełniona tożsamościowo (przy czym $ \alpha \neq 0 $, $ \gamma \neq 0 $). Porównując współczynniki przy $ x^3 $ widzimy, że jeśli takie stałe istnieją, to $ \gamma $ musi być równe $ \alpha^3 $. Postulowana tożsamość (2) przybiera postać

\[<br />
P(\alpha x + \beta) = \alpha^3Q(x).<br />
\]

Podstawiając wyrażenia określające wielomiany $ P(x) $ i $ Q(x) $, i przyrównując współczynniki wielomianów otrzymanych po lewej i prawej stronie wzoru (2), uzyskujemy układ trzech równań z dwiema niewiadomymi ($ \alpha $ i $ \beta $). Okazuje się, że - niezależnie od wartości danych stałych (,,parametrów'') $ a $, $ b $, $ c $ - układ ten zawsze ma rozwiązanie $ \alpha = -2 $, $ \beta = -a $ (więc $ \gamma = -8 $); na ogół jest to jego jedyne rozwiązanie, ale dla niektórych szczególnych wartości stałych $ a $, $ b $, $ c $ mogą istnieć jeszcze inne rozwiązania. Nie ma to jednak znaczenia: dla znalezionych wartości liczb $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ zawsze spełniona jest tożsamość (2); po zastąpieniu $ x $ przez $ -x $ przybiera ona postać (1).

Oczywiście, redagując rozwiązanie zadania, nikt nie ma obowiązku ,,tłumaczyć się'', skąd pomysł badania wyrażenia $ P(2x-a) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź