XLV OM - I - Zadanie 6

Funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ jest ciągła. Wykazać, że jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ istnieje taka liczba naturalna $ n $, że $ (\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n})(x) = 1 $, to $ f(1)=1 $.

Rozwiązanie

Symbolem $ f^r $ będziemy oznaczali $ r $--tą iteratę funkcji $ f $, czyli $ r $-krotne złożenie (superpozycję) $ f \circ f \circ \ldots \circ f $.

Przypuśćmy, wbrew tezie, że $ f(1) \neq 1 $. Niech $ m $ będzie najmniejszą dodatnią liczbą naturalną, dla której zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad  f^m(1) = 1<br />
\]

(taka liczba istnieje w myśl warunku zadania). Skoro $ f(1) \neq 1 $, zatem $ m \geq 2 $. Przyjmijmy $ x_0 = 1 $ i oznaczmy wartość $ f(1) $ przez $ x_1 $, wartość $ f(x_1) $ przez $ x_2 $, i dalej, indukcyjnie, wartość $ f(x_i) $ przez $ x_{i+1} $ (dla $ i = 1,2,\ldots,m - 1 $); wówczas $ x_m = f^m(1) = 1 $. Otrzymujemy układ liczb rzeczywistych $ x_0,x_1,\ldots,x_{m-1},x_m $ spełniający warunki

\[<br />
x_0 = x_m = 1,  \quad    x_{i+1} = f(x_i)  \quad \textrm{dla } i = 0,1,\ldots ,m - 1.<br />
\]

Niech $ x_k $ będzie najmniejszą, a $ x_l $ - największą spośród liczb $ x_0,x_1, \ldots ,x_{m-1} $. Zachodzą więc nierówności

\[<br />
(2) \qquad x_k \leq x_{k+1}, \quad  x_l \geq x_{l+1}<br />
\]

(faktycznie zachodzą tu nierówności ostre, bo liczby $ x_0, x_1, \ldots, x_{m-1} $ są wszystkie różne, co wynika z określenia m jako minimalnej liczby spełniającej warunek (1); ale dla dalszego ciągu rozumowania nie ma to znaczenia - wystarczą słabe nierówności (2)).

Weźmy pod uwagę funkcję $ g(x) = f(x) - x $; jest to funkcja ciągła. Przyjmuje ona w punktach $ x_k $ i $ x_l $ wartości

\[<br />
g(x_k) = f(x_k)-x_k = x_{k+1}-x_k \geq 0<br />
\]

oraz

\[<br />
g(x_l) = f(x_l)-x_l = x_{l+1}-x_l \leq 0;<br />
\]

istnieje więc (na mocy własności Darboux) liczba $ c \in  \langle x_k; x_l \rangle $, dla której zachodzi równość $ g(c) = 0 $, czyli $ f(c) = c $. Stąd wynika, że

\[<br />
f^n(c) = c \quad  \textrm{dla każdego $n$ naturalnego}.<br />
\]

Skorzystajmy ponownie z warunku zadania, który mówi, że dla pewnego $ n $ wartość $ f^n(c) $ ma być równa $ 1 $. Otrzymujemy wniosek, że $ c = 1 $. Równość $ f(c) = c $ orzeka teraz, że $ f(1) = 1 $ - wbrew początkowemu przypuszczeniu - i tym samym dowodzi błędności tego przypuszczenia. Zatem, ostatecznie, $ f(1)=1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź