XLV OM - I - Zadanie 8

Dane są takie liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $, że $ a^3 $ dzieli się przez $ b $, $ b^3 $ dzieli się przez $ c $, a $ c^3 $ dzieli się przez $ a $. Udowodnić, że liczba $ (a+b+c)^{13} $ jest podzielna przez $ abc $.

Rozwiązanie

Liczba $ (a + b + c)^{13} $ jest iloczynem trzynastu czynników, z których każdy równa się $ a + b + c $. Wymnażając te trzynaście identycznych wyrażeń otrzymamy sumę wielu (mianowicie $ 3^{13} $) składników postaci

\[<br />
(1) \qquad a^kb^mc^n; \quad k,m,n\geq 0 \ \textrm{całkowite,}\   k + m + n = 13.<br />
\]

Wystarczy wykazać, że każdy taki składnik dzieli się przez iloczyn $ abc $. Jest to oczywiste, gdy żaden z wykładników $ k $, $ m $, $ n $ nie jest zerem, bo wówczas $ a^kb^mc^n = abc \cdot a^{k-1}b^{m-1}c^{n-1} $. Pozostaje zająć się przypadkiem, gdy co najmniej jeden z tych wykładników równa się zeru.

Ponieważ układ założeń jest niezmienniczy względem cyklicznej zmiany oznaczeń ( $ a \mapsto b \mapsto c \mapsto   a $ ), nie tracimy ogólności zakładając, że $ n = 0 $. Iloczyn (1) ma wtedy postać

\[<br />
(2) \qquad a^kb^m; \quad k,m\geq 0 \ \textrm{całkowite,}\   k + m = 13.<br />
\]

Zadanie zostało sprowadzone do wykazania, że dla każdej takiej pary wykładników $ k $, $ m $ liczba $ a^kb^m $ dzieli się przez $ abc $.

Z podanych w zadaniu założeń wynika, że

\[<br />
a^9 \textrm{ dzieli się przez } c,\quad b^9 \textrm{ dzieli się przez } a.<br />
\]

Liczbę postaci (2) możemy zapisać następująco jako iloczyn czterech czynników (pooddzielanych kropkami):

\[<br />
\begin{array}{lcl}<br />
\textrm{gdy}& k = 13 ,\   m = 0 &:\ a^kb^m = a \cdot a^3\cdot a^9\cdot 1;\\<br />
\textrm{gdy}& 10\leq k \leq 12,\ 1\leq m \leq 3 &:\ a^kb^m = a\cdot b \cdot  a^9 \cdot (a^{k-10}b^{m-1});\\<br />
\textrm{gdy}& 1\leq k \leq 9,\ 4\leq m \leq 12 &:\ a^kb^m = a\cdot b \cdot  b^3 \cdot (a^{k-1}b^{m-4});\\<br />
\textrm{gdy}& k = 0 ,\   m = 13 &:\ a^kb^m = b^9 \cdot b\cdot b^3\cdot 1.<br />
\end{array}<br />
\]

W każdym z powyższych przedstawień pierwszy czynnik dzieli się przez $ a $, drugi dzieli się przez $ b $, a trzeci dzieli się przez $ c $; czwarty jest zaś pewną liczbą naturalną. Tak więc, w każdym przypadku, iloczyn $ a^kb^m $ jest liczbą podzielną przez iloczyn $ abc $. W myśl poprzednich uwag, kończy to dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź