XLV OM - I - Zadanie 10

Liczby dodatnie $ p $ i $ q $ spełniają warunek $ p+q=1 $. Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $ m $ i $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Wyobraźmy sobie szachownicę prostokątną mającą $ m $ rzędów poziomych i $ n $ rzędów pionowych. Przyjmijmy, że pola są kolorowane losowo: dla każdego pola prawdopodobieństwo pomalowania na biało wynosi $ p $, a prawdopodobieństwo pomalowania na czarno wynosi $ q $.

Ustalmy rząd pionowy $ C $. Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie pola w rzędzie $ C $ są białe, wynosi $ p^m $. Zatem prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedno pole w rzędzie $ C $ jest czarne, równa się $ 1 - p^m $.

Mamy $ n $ rzędów pionowych, i do każdego z nich odnosi się konkluzja poprzedniego zdania. Tak więc liczba $ (1 - p^m)^n $ wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia:

\[<br />
\mathcal{A} : \textrm{  każdy rząd pionowy zawiera co najmniej jedno czarne pole.}<br />
\]

Weźmy pod uwagę zdarzenie przeciwne do $ \mathcal{A} $:

\[<br />
\mathcal{A'}  : \textrm{ istnieje rząd pionowy z wszystkimi polami białymi.}<br />
\]

Skoro, jak stwierdziliśmy przed chwilą, $ P(\mathcal{A}) = (1-p^m)^n $, zatem

\[<br />
P(\mathcal{A}') = 1-(1-p^m)^n.<br />
\]

Do analogicznych wniosków dojdziemy rozważając zdarzenia:

\[<br />
\mathcal{B}  :  \textrm{ każdy rząd poziomy zawiera co najmniej jedno białe pole}<br />
\]

oraz

\[<br />
\mathcal{B'}  :  \textrm{  istnieje rząd poziomy z wszystkimi polami czarnymi.}<br />
\]

Są to zdarzenia wzajemnie przeciwne. Z uwagi na symetrię konfiguracji, ich prawdopodobieństwa dane są wzorami analogicznymi do uzyskanych dla zdarzeń $ \mathcal{A} $ i $ \mathcal{A}' $:

\[<br />
P(\mathcal{B}) = (1-q^n)^m,\quad P(\mathcal{B}') = 1-(1-q^n)^m.<br />
\]

Zauważmy teraz, że zdarzenia $ \mathcal{A}' $ i $ \mathcal{B}' $ nie mogą zajść jednocześnie; znaczyłoby to bowiem, że istnieje rząd pionowy cały biały oraz istnieje rząd poziomy cały czarny; pole na przecięciu tych rzędów musiałoby mieć oba kolory naraz, co nie jest możliwe. Suma prawdopodobieństw zdarzeń wzajemnie się wykluczających nie przekracza jedności: $ P(\mathcal{A}')+P(\mathcal{B}') \leq 1 $. Podstawiając znalezione wartości $ P(\mathcal{A}') $ i $ P(\mathcal{B}') $ otrzymujemy oszacowanie

\[<br />
[1-(1-p^m)^n]+[1-(1-q^n)^m] \leq 1;<br />
\]

po prostym przekształceniu:

\[<br />
(1-p^m)^n+(1-q^n)^m \geq 1<br />
\]

- a to jest właśnie nierówność dana do udowodnienia.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź