XLV OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) $ stopnia co najwyżej piątego o współczynnikach rzeczywistych, mające tę własność, że wielomian $ P(x) + 1 $ jest podzielny przez $ (x - 1)^3 $ a wielomian $ P(x) - 1 $ jest podzielny przez $ (x + 1)^3 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomian $ P(x) $ spełnia podane warunki. Na mocy założenia, istnieją wielomiany $ Q(x) $ i $ R(x) $, stopnia co najwyżej drugiego, spełniające dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej $ x $ równości

\[<br />
P(x) + 1 = (x-1)^3Q(x),  \quad    P(x)-1 = (x + 1)^3R(x).<br />
\]

Współczynnik przy $ x^2 $ w każdym z wielomianów $ Q(x) $, $ R(x) $ jest równy współczynnikowi przy $ x^5 $ w wielomianie $ P(x) $ (nie wykluczamy możliwości, że jest on równy zeru). Wielomiany $ Q(x) $ i $ R(x) $ mają więc postać

\[<br />
Q(x) = ax^2 +bx + c,  \quad    R(x) = ax^2+px + q.<br />
\]

Przekształcamy pierwszą z napisanych powyżej równości:

\[<br />
\begin{split}<br />
P(x) +1 &= (x^3 -3x^2 + 3x- 1)(ax^2 + bx + c) =\\<br />
& = ax^5 + (b- 3a)x^4 + (c - 3b + 3a)x^3 +\\<br />
&+ (-3c + 3b - a)x^2 + (3c -b)x-c.<br />
\end{split}<br />
\]

Przekształcając drugą otrzymujemy, analogicznie,

\[<br />
\begin{split}<br />
P(x) -1 & = ax^5 + (p + 3a)x^4 + (q + 3p + 3a)x^3 + \\<br />
 & + (3q + 3p + a)x^2 + (3q+p)x + q.<br />
\end{split}<br />
\]

Odejmując stronami uzyskane związki (drugi od pierwszego) dostajemy po lewej stronie wielkość stałą, równą $ 2 $. W takim razie wielomiany po prawych stronach powyższych związków muszą mieć równe współczynniki przy każdej z dodatnich potęg zmiennej $ x $, zaś ich wyrazy wolne muszą się różnić o $ 2 $:

\[<br />
\begin{split}<br />
b - 3a &= p+3a,\\<br />
c - 3b + 3a &= q + 3p + 3a,\\<br />
 - 3c + 3b - a &= 3q + 3p+a,\\<br />
 3c-b &= 3q+p,\\<br />
 -c &= q + 2.<br />
\end{split}<br />
\]

Mamy więc układ $ 5 $ równań z $ 5 $ niewiadomymi. Z drugiego i piątego równania dostajemy zależność

\[<br />
3b + 3p = 2c + 2,<br />
\]

a z trzeciego i piątego -

\[<br />
3b-3p = 2a-6.<br />
\]

Stąd, przez dodanie i odjęcie stronami,

\[<br />
3b = a + c - 2,   \quad   3p = c - a + 4.<br />
\]

Z pierwszego równania układu mamy $ b - p = 6a $. Tak więc $ 2a - 6 = 3(b - p) = 18a $, skąd

\[<br />
{\def\arraystretch{2.5}<br />
\begin{array}{lll}<br />
a=-\dfrac{3}{8},&\quad b=\dfrac{1}{3}(a+c-2)=\dfrac{1}{3}c-\dfrac{19}{24},&\\<br />
&\quad p=\dfrac{1}{3}(c-a+4)=\dfrac{1}{3}c+\dfrac{35}{24},&\quad q=-c-2.<br />
\end{array}<br />
}<br />
\]

Podstawiając te wyrażenia do czwartego równania układu, wyznaczamy $ c = - 1 $. Wobec tego

\[<br />
a=-\frac{3}{8},\quad   b = -\frac{9}{8},\quad   c = -1,  \quad p=\frac{9}{8}, \quad q=-1.<br />
\]

(Oczywiście eliminację niewiadomych można było prowadzić w dowolnej innej kolejności.)

Jeśli więc wielomian $ P(x) $ istnieje, to musi on być dany każdym z następujących dwóch wzorów:

\[<br />
P(x) = (x-1)^3 \left(-\frac{3}{8}x^2 -\frac{9}{8}x-1 \right)-1,<br />
\]
\[<br />
P(x) = (x+1)^3 \left(-\frac{3}{8}x^2 +\frac{9}{8}x-1 \right)+1.<br />
\]

Po wymnożeniu otrzymujemy, z każdego z tych wzorów,

\[<br />
P(x) = -\frac{3}{8}x^5+\frac{10}{8}x^3-\frac{15}{8}x.<br />
\]

Z postaci tych wzorów wynika zaś, że otrzymany wielomian istotnie spełnia postawione w zadaniu warunki.

Uwaga 1. Rozwiązując układ równań metodą eliminacji nie troszczyliśmy się o to, by w każdym kroku wypisać układ równoważny wyjściowemu. Dlatego w końcówce rozwiązania potrzebne było sprawdzenie, że istotnie oba postulowane wzory dają ten sam wielomian $ P(x) $.

Komentarze

Inne rozwiązanie

Można to zrobić łatwiej - bierzemy najpierw odpowiednie pochodne wielomianu, a potem całkujemy. Na koniec otrzymujemy prosty układ równań - bardzo dobry opis w "Kółku Matematycznym Dla Olimpijczyków".

Dodaj nową odpowiedź