XLV OM - II - Zadanie 2

Liczby $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, $ b_1, b_2, \ldots , b_n $ spełniają warunki:

\[<br />
\sum_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_i, \quad 0 < a_i \leq b_i \quad \text{ dla } i=1,2,\ldots,n.<br />
\]

Udowodnić, że $ \sum_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n b_i $.

Rozwiązanie

Przyjmijmy

\[<br />
A_i=\prod_{j:j\neq i}a_j, \quad B_i=\prod_{j:j\neq i}b_j.<br />
\]

(Te symbole oznaczają, odpowiednio, iloczyn wszystkich liczb $ a_j $ oraz iloczyn wszystkich liczb $ b_j $ o numerach $ j $ różnych od $ i $.) Z założenia, że $ a_j \leq b_j $ (dla wszystkich $ j $) wynika, że $ A_i \leq B_i $ (dla wszystkich $ i $). W takim razie

\[<br />
(1) \qquad \sum_{i=1}^n \frac{1}{A_i} \geq \sum_{i=1}^n \frac{1}{B_i}.<br />
\]

Pozostaje zauważyć, że

\[<br />
\frac{1}{A_i}=\frac{a_i}{\displaystyle \prod_{j=1}^n a_j}, \quad \frac{1}{B_i}=\frac{b_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n b_j},<br />
\]

wobec czego

\[<br />
\sum_{i=1}^n \frac{1}{A_i}=<br />
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n a_j} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n a_j}=1,<br />
\quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{B_i}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n b_j};<br />
\]

skorzystaliśmy z pierwszego warunku zadania.

Z uwagi na nierówność (1), wartość ostatniego ułamka nie przekracza $ 1 $. Zatem jego licznik nie jest większy od mianownika - a to właśnie mieliśmy wykazać.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź