XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

Rozwiązanie

Umieszczamy sześcian w układzie współrzędnych tak, by jego wierzchołkami były punkty o wszystkich współrzędnych równych $ +1 $ lub $ -1 $. Środkiem sześcianu jest wówczas punkt $ O = (0,0,0) $, początek układu. Rozważana w zadaniu płaszczyzna przechodzi przez $ O $, a więc ma równanie postaci

\[<br />
(1) \qquad ax + by + cz = 0,<br />
\]

przy czym żaden za współczynników $ a $, $ b $, $ c $ nie jest zerem (gdyby na przykład współczynnik $ a $ był równy zeru, wówczas płaszczyzna zawierałaby całą oś $ Ox $ i przekrój sześcianu nie byłby sześciokątny).
om45_2r_img_10.jpg
Niech $ A $, $ B $, $ C $ będą trzema kolejnymi wierzchołkami sześciokąta będącego rozważanym przekrojem. Leżą one na trzech krawędziach sześcianu tworzących linię łamaną o bokach równoległych do wszystkich trzech osi układu współrzędnych. Nie tracimy ogólności przyjmując, że są to (kolejno) krawędzie $ PQ $, $ QR $, $ RP' $, gdzie

\[<br />
P = (-1,1,-1), \quad  Q= (1,1,-1), \quad   R = (1,-1,-1), \quad   P'= (1,-1,1)<br />
\]

(rysunek 10). Wszystkie punkty prostej $ PQ $ mają współrzędną $ y = 1 $ oraz współrzędną $ z = -1 $. Zatem punkt $ A $ ma postać $ A = (\alpha,1,-1) $. Analogicznie, $ B = (1,-\beta,-1) $, $ C = (1,-1,\gamma) $ (oznaczenie drugiej współrzędnej punktu $ B $ przez $ -\beta $, a nie $ \beta $, ma swój cel). Punkty $ A $, $ B $ i $ C $ leżą na płaszczyźnie danej równaniem (1). Mamy więc układ równań

\[<br />
a \alpha + b-c = 0, \quad a-b \beta-c=0, \quad a-b + c \gamma = 0,<br />
\]

z którego wyznaczamy

\[<br />
(2) \qquad \alpha=\frac{c-b}{a}, \quad \beta=\frac{a-c}{b},\quad \gamma=\frac{b-a}{c}.<br />
\]

Punkt $ O $ jest środkiem symetrii badanego sześciokąta (bo jest środkiem symetrii sześcianu). Jeśli więc istnieje okrąg opisany na tym sześciokącie, to jego środkiem jest punkt $ O $. To znaczy, że punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżą w jednakowych odległościach od $ O $. A ponieważ $ |OA|^2 = 2 +\alpha^2 $, $ |OB|^2 = 2 + \beta^2 $, $ |OC|^2 = 2 + \gamma^2 $, wnosimy stąd, że $ |\alpha| = |\beta| = |\gamma| $.

Jeśli wykażemy, że $ \alpha = \beta = \gamma = 0 $, będzie to znaczyło, że $ A = (0,1,-1) $, $ B = (1,0,-1) $, $ C = (1,-1,0) $, a zatem punkty $ A $, $ B $ i $ C $ są środkami odpowiednich krawędzi i sześciokąt jest foremny.

Możemy teraz zapomnieć o kontekście geometrycznym; zadanie zostało sprowadzone do wykazania, że jeśli liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ dane wzorami (2) mają równe moduły, to są one wszystkie równe zeru.

Skoro $ |\alpha| = |\beta| = |\gamma| $, zatem co najmniej dwie spośród liczb $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są równe; trzecia albo ma tę samą wartość, albo różni się znakiem. Rozpatrzymy te dwa przypadki oddzielnie.

Gdy liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są równe, wzory (2) dają układ równań

\[<br />
(3) \qquad c - b = \alpha a,\quad      a - c = \alpha b, \quad     b - a = \alpha c.<br />
\]

Dodajemy je stronami i otrzymujemy: $ \alpha(a + b + c) = 0 $. Przypuśćmy, że $ \alpha\neq 0 $; wówczas $ a + b + c = 0 $. Podstawiając $ c = -(a + b) $ do pierwszych dwóch równań układu (3) dostajemy związki

\[<br />
2b=-(1 + \alpha)a,  \quad    2a = (\alpha-1)b,<br />
\]

które - po pomnożeniu stronami - dają równość $ 4ab = (1 - \alpha^2)ab $, czyli $ (3 + \alpha^2)ab = 0 $. Jest to sprzeczność, skoro $ a \neq 0 $ i $ b \neq 0 $. Zatem, w tym przypadku, $ \alpha = \beta = \gamma = 0 $.

Pozostał do rozważenia przypadek, gdy dwie spośród liczb $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są równe, a trzecia różni się znakiem.

Układ oznaczeń we wzorach (2) jest cykliczny; to znaczy, cykliczna zmiana zmiennych ($ a \mapsto b \mapsto c \mapsto a $) pociąga za sobą analogiczną zmianę wartości ($ \alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha $). Można więc bez straty ogólności przyjąć, że to liczby $ \alpha $ i $ \beta $ są równe, a zatem $ \alpha = \beta = -\gamma $. Tym razem wzory (2) dają układ równań

\[<br />
(4) \qquad c - b = \alpha a,    \quad  a - c = \alpha b,   \quad   b - a = -\alpha c,<br />
\]

i po dodaniu stronami: $ \alpha(a + b - c) = 0 $. Rozumując jak w poprzednim przypadku, przypuśćmy, że $ \alpha \neq 0 $; wówczas $ a + b - c = 0 $. Podstawiając $ c = a + b $ do pierwszych dwóch równań układu (4) dostajemy związki

\[<br />
a = \alpha a, \quad     -b = \alpha b,<br />
\]

które nie dadzą się pogodzić (jako, że $ a\neq 0 $ i $ b\neq 0 $). Także i w tym przypadku otrzymujemy wniosek, że $ \alpha = \beta = \gamma = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź