XLV OM - II - Zadanie 4

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $ 1 $ lub $ -1 $, a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $ 14 $ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę dowolne przyporządkowanie liczb $ 1 $ i $ -1 $ wierzchołkom sześcianu; oznaczmy sumę tych liczb przez $ S_1 $. Ścianom przyporządkujmy liczby w sposób wyznaczony zgodnie z zadaną regułą; oznaczmy sumę tych liczb przez $ S_2 $. Suma wszystkich $ 14 $ rozważanych liczb równa się $ S_1 + S_2 $.

Dokonajmy zmiany liczby przy jednym wierzchołku (obojętne którym). Spowoduje ona zmianę liczb przyporządkowanych trzem ścianom. Wartość sumy $ S_1 $ zwiększy się o $ 2 $ lub zmniejszy się o $ 2 $. Wartość sumy $ S_2 $ zwiększy się lub zmniejszy się o $ 2 $ lub o $ 6 $. Łączna suma $ S = S_1 + S_2 $ zwiększy lub zmniejszy swą wartość o $ 4 $ lub o $ 8 $, lub pozostanie niezmieniona.

Jeżeli wszystkim wierzchołkom są przyporządkowane jedynki, to także wszystkim ścianom są przyporządkowane jedynki, i wówczas $ S = 8 + 6 = 14 $. (Jest to oczywiście maksymalna możliwa wartość sumy $ S $.) Z tej konfiguracji można osiągnąć każdą inną, zmieniając kolejno po jednej liczbie przy wierzchołkach. Zgodnie z poprzednim spostrzeżeniem, w każdym kroku tej procedury badana suma $ S $ zmieni swą wartość o $ \pm 4 $, $ \pm 8 $ lub $ 0 $. A zatem wartości przyjmowane przez sumę $ S $ będą się różniły od wyjściowej wartości $ 14 $ o wielokrotności liczby $ 4 $. Zbiór możliwych do uzyskania wartości jest więc podzbiorem zbioru $ \{14,10,6,2,-2,-6,-10,-14\} $.

Liczbę $ -14 $ możemy wyeliminować od razu: musielibyśmy mieć ,,minus jedynki'' przy wszystkich wierzchołkach i wszystkich ścianach - ale to jest sprzeczne z warunkami zadania.

Nie da się również uzyskać wartości $ S = 10 $. Wymagałoby to bowiem, aby $ 12 $ jedynek pojawiło się ze znakiem ,,plus'', a dwie ze znakiem ,,minus''. Gdyby przy wierzchołkach były same ,,plus jedynki'', to i przy ścianach byłyby same ,,plus jedynki''. Gdyby dokładnie jeden wierzchołek był opatrzony znakiem ,,minus'', wówczas {\it trzy} ściany otrzymałyby znak ,,minus''. Gdyby wreszcie ,,minusy'' były dokładnie przy dwóch wierzchołkach, wówczas także przy pewnych ścianach pojawiłyby się ,,minusy''. A więc konfiguracja ,,10 plusów, 2 minusy'' nie jest w żaden sposób osiągalna.

Zakres możliwych wartości $ S $ został zatem ograniczony do zbioru

\[<br />
\{14,6,2,-2,-6,-10\}.<br />
\]

Z tych sześciu wartości każdą już da się uzyskać, na ogół różnymi sposobami. Oto przykłady konfiguracji realizujących te wartości:

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $ +1 $, to $ S_1 = 8 $, $ S_2 = 6 $ i $ S = 14 $.

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $ -1 $, to $ S_1 = -8 $, $ S_2 = 6 $ i $ S = -2 $.

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę $ +1 $, a pozostałym $ -1 $, to $ S_1 = -6 $, $ S_2 = 0 $ i $ S = -6 $.

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę $ -1 $, a pozostałym $ +1 $, to $ S_1 = 6 $, $ S_2 = 0 $ i $ S = 6 $.

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $ +1 $, a pozostałym $ -1 $, to $ S_1 = -4 $, $ S_2 = -6 $ i $ S = -10 $.

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom jednej ściany przyporządkowano liczbę $ -1 $, a pozostałym wierzchołkom sześcianu liczbę $ +1 $, to $ S_1 =4 $, $ S_2 = -2 $ i $ S = 2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź