XLV OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza p. Wykazać równoważność zdań:

(a) Istnieje taka liczba całkowita $ n $, że liczba $ n^2 - n + 3 $ jest podzielna przez $ p $.

(b) Istnieje taka liczba całkowita $ m $, że liczba $ m^2 - m +25 $ jest podzielna przez $ p $.

Rozwiązanie

Żądana równoważność wynika nietrudno ze spostrzeżenia, że

\[<br />
(1) \qquad \textrm{jeśli } m = 3n-1, \textrm{ to } m^2-m + 25 = 9(n^2-n + 3).<br />
\]

Implikację (a) $ \Longrightarrow $ (b) dostajemy stąd natychmiast: jeżeli (dla pewnego $ n $) liczba $ n^2 -n + 3 $ dzieli się przez $ p $, to wystarczy przyjąć $ m = 3n-1 $: zgodnie z (1), liczba $ m^2 -m + 25 $ także dzieli się przez $ p $.

Dowód implikacji (b) $ \Longrightarrow $ (a) poprowadzimy najpierw przy założeniu, że $ p\neq 3 $. Zakładamy słuszność (b): niech $ m $ będzie liczbą całkowitą, dla której liczba $ m^2-m + 25 $ dzieli się przez $ p $. Skoro $ p \neq 3 $, zatem liczby $ m $, $ m + p $, $ m-p $ dają przy dzieleniu przez $ 3 $ różne reszty, a więc jedna z tych trzech liczb daje resztę $ 2 $. Oznaczmy tę liczbę przez $ k $; to znaczy, przyjmijmy

\[<br />
k=\left\{\begin{array}{lrll}<br />
m&\textrm{jeśli}& m\equiv 2 & \pmod 3,\\<br />
m+p&\textrm{jeśli}& m\equiv 0, p\equiv 2 &\\<br />
&\textrm{lub}& m\equiv 1, p \equiv 1  & \pmod 3,\\<br />
m-p&\textrm{jeśli}& m\equiv 0, p\equiv 1 \\<br />
&\textrm{lub}& m\equiv 1, p \equiv 2  & \pmod 3;<br />
\end{array}\right.<br />
\]

w każdym przypadku, tak zdefiniowana liczba $ k $ istotnie spełnia warunek $ k \equiv 2 \pmod 3 $. Określamy liczbę całkowitą $ n $ wzorem

\[<br />
(2) \qquad n=\frac{k+1}{3}.<br />
\]

Ponieważ $ k - m \in \{0,p,-p\} $ oraz (z założenia) $ p $ jest dzielnikiem liczby $ m^2-m +25 $, zatem $ p $ jest też dzielnikiem liczby $ k^2 -k + 25 $. Liczby $ k $ i $ n $ są związane równością $ k = 3n-1 $. Wobec tego, na mocy spostrzeżenia (1) (z $ m $ zastąpionym przez $ k $), liczba $ p $ jest dzielnikiem iloczynu $ 9(n^2-n + 3) $, i to dzielnikiem pierwszym, różnym od $ 3 $; jest więc dzielnikiem czynnika $ (n^2 - n + 3) $. To znaczy, że liczba $ n $, określona wzorem (2), spełnia warunek (a).

Pozostaje do udowodnienia implikacja (b) $ \Longrightarrow $ (a) w przypadku, gdy $ p = 3 $. Otóż dla $ p = 3 $ oba zdania, (a) i (b), są prawdziwe. Istotnie: wystarczy przyjąć $ n = 3 $ (w warunku (a)) oraz $ m = 2 $ (w warunku (b)). Obie rozważane w tych zdaniach liczby ($ n^2-n + 3 $ oraz $ m^2 -m + 25 $, czyli $ 9 $ oraz $ 27 $) są wówczas podzielne przez $ 3 $, a tym samym oba warunki, (a) i (b), są spełnione.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź