XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1, A_2, \ldots , A_8 $ są wierzchołkami równoległościanu o środku $ O $. Wykazać, że

\[<br />
r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że jedną ze ścian danego równoległościanu jest równoległobok $ A_1A_2A_3A_4 $, a ścianą przeciwległą - równoległobok $ A_5A_6A_7A_8 $, przy czym odcinki $ A_1A_5 $, $ A_2A_6 $, $ A_3A_7 $, $ A_4A_8 $ są czterema krawędziami równoległościanu (rysunek 17). Oznaczmy odległości wierzchołków od punktu $ O $, jak następuje:

\[<br />
\begin{array}{ll}<br />
|OA_1| = |OA_7| = a,& |OA_2| = |OA_8| = b,\\<br />
|OA_3| = |OA_5| = c, &    |OA_4| = |OA_6| = d.<br />
\end{array}<br />
\]

om45_3r_img_17.jpg
Nierówność dana do udowodnienia przyjmuje postać

\[<br />
8(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \leq (2a + 2b + 2c + 2d)^2;<br />
\]

równoważnie:

\[<br />
2(a^2 + b^2+c^2 + d^2) \leq (a + b + c + d)^2.<br />
\]

A ponieważ

\[<br />
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd,<br />
\]

pozostaje wykazać, że

\[<br />
(1) \qquad a^2 + b^2 + c^2+d^2 \leq 2ab + 2ac + 2ad+2bc + 2bd + 2cd.<br />
\]

Odcinki $ OA_1 $, $ OA_4 $, $ A_1A_4 $ są trzema bokami trójkąta; także odcinki $ OA_2 $, $ OA_3 $, $ A_2A_3 $ są trzema bokami trójkąta. Zatem

\[<br />
(2) \qquad |OA_1| \leq |OA_4| + |A_1A_4|,\quad |A_2A_3| \leq   |OA_2| + |OA_3|<br />
\]

(,,nierówności trójkąta''). Odcinki $ A_1A_4 $ i $ A_2A_3 $ są przeciwległymi bokami równoległoboku $ A_1A_2A_3A_4 $, więc $ |A_1A_4| = |A_2A_3| $. Stąd wobec zależności (2) uzyskujemy nierówność

\[<br />
|OA_1| \leq |OA_4| + |A_2A_3| \leq |OA_4| + |OA_2| + |OA_3|,<br />
\]

czyli $ a \leq b + c + d $. Mnożąc stronami przez $ a $, zapisujemy ją w postaci

\[<br />
a^2 \leq ab + ac + ad.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
b^2\leq ba + bc + bd,  \quad    c^2\leq ca + cb + cd, \quad     d^2 \leq da + db + dc.<br />
\]

Dodając te cztery nierówności stronami otrzymujemy nierówność (1), którą chcieliśmy udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź