XLV OM - III - Zadanie 6

Różne liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots , x_n $ ($ n \geq 4 $) spełniają warunki

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1.<br />
\]

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby zachodziły nierówności

\[<br />
a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd.<br />
\]

Rozwiązanie

Wybierzmy ze zbioru $ \{x_1,x_2,\ldots,x_n\} $ w dowolny sposób cztery różne liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ i weźmy pod uwagę wielomiany

\[<br />
\begin{split}<br />
P(x) &= (x-a)(x-b)(x-c)\\<br />
&= x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc<br />
\end{split}<br />
\]

oraz

\[<br />
\begin{split}<br />
Q(x) &= (x-a)(x-b)(x-d)\\<br />
&= x^3 - (a + b + d)x^2 + (ab + ad + bd)x - abd.<br />
\end{split}<br />
\]

Z warunków danych w założeniach zadania wynikają równości

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{i=1}^n P(x_i) &= \sum_{i=1}^n x_i^3 -(a+b+c)\sum_{i=1}^n x_i^2 +(ab+ac+bc)\sum_{i=1}^n x_i - nabc =\\<br />
&= \sum_{i=1}^n x_i^3 -(a+b+c+nabc),<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^3 =(a+b+c+nabc)+ \sum_{i=1}^n P(x_i)<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^3 =(a+b+d+nabd)+ \sum_{i=1}^n Q(x_i).<br />
\]

Zadanie będzie więc rozwiązane, jeśli zdołamy wybrać liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ tak, aby były spełnione nierówności

\[<br />
\sum_{i=1}^n P(x_i) \geq 0 \geq \sum_{i=1}^n Q(x_i).<br />
\]

W tym celu oczywiście wystarczy, żeby dla {\it każdego} numeru $ i \in \{1,2,\ldots,n\} $ zachodziły nierówności $ P(x_i)\geq 0 \geq Q(x_i) $, czyli

\[<br />
(1) \qquad (x_i-a)(x_i-b)(x_j-c) \geq 0 \geq (x_i-a)(x_i-b)(x_i-d).<br />
\]

To zaś można osiągnąć różnymi sposobami.

Nie tracąc ogólności załóżmy, że $ x_1 < x_2 < \ldots < x_n $.

Przyjmijmy

\[<br />
a = x_1,    \quad  b = x_n,  \quad    c = x_{n-1}, \quad d=x_2.<br />
\]

Dla każdego numeru $ i \in \{1,2,\ldots,n\} $ iloczyn $ (x_i - a)(x_i - b) $ jest niedodatni. Dla $ i \in \{2,\ldots,n - 1\} $ czynnik $ (x_i - c) $ jest niedodatni, a czynnik $ (x_i - d) $ nieujemny, więc nierówności (1) są spełnione; a dla $ i = 1 $ oraz dla $ i = n $ po obu stronach (1) mamy po prostu wartość zero.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź