XLIV OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

\[<br />
\frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}(x)} = [x+1]<br />
\]

Uwaga: $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $,

\[<br />
\mathrm{sgn}(x) =<br />
\begin{cases}<br />
1, & \text{ gdy } x > 0 \\<br />
0, & \text{ gdy } x = 0 \\<br />
-1, & \text{ gdy } x < 0.<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę równania odpowiednio przez $ L(x) $ i $ P(x) $; z postaci równania wynika, że $ x\neq 0 $. Dla wszystkich liczb $ x \neq 0 $ mianownik ułamka definiującego wyrażenie $ L(x) $ jest różny od zera, a więc wyrażenie to jest dobrze określone i mamy równość

\[<br />
|x| + 1 = x \cdot \sgn x + (\sgn x)^2 = (x + \sgn x) \sgn x;<br />
\]

stąd zaś

\[<br />
L(x) = (x^2 - 1)\sgn x.<br />
\]

Wartość bezwzględna prawej strony danego równania spełnia oczywiste oszacowanie $ |P(x)| \leq    |x| +1 $. Jeśli więc $ |x| > 2 $, to

\[<br />
|L(x)|-|P(x)| \geq (x^2-1) - (|x| +1) = (|x|-2)(|x| + 1) >0.<br />
\]

Zatem równanie nie ma rozwiązań w zbiorze $ (-\infty;-2)\cup(2;\infty ) $.

Dla $ x = 2 $ równanie jest spełnione. W pozostałym zbiorze $ \langle-2;0)\cup(0; 2) $ funkcje $ L(x) $ i $ P(x) $ są dane wzorami

\[<br />
L(x)=(x^2-1)\sgn x = \left\{\begin{array}{ll}<br />
1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;0),\\<br />
x^2-1& \textrm{dla } x \in (0;2)\\<br />
\end{array}\right.<br />
\]

oraz

\[<br />
P(x)=[x + 1]= \left\{\begin{array}{rl}<br />
-1& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\<br />
0& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\<br />
1& \textrm{dla } x \in (0;1),\\<br />
2& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\<br />
\end{array}\right.<br />
\]

a ich różnica ma postać

\[<br />
L(x)-P(x)= \left\{\begin{array}{rl}<br />
2-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\<br />
1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\<br />
x^2-2& \textrm{dla } x \in (0;1),\\<br />
x^2-3& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Przyrównanie do zera uzyskanych wyrażeń kwadratowych daje (w odpowiednich przedziałach) pierwiastki: $ -\sqrt{2} $, $ -1 $, $ \sqrt{3} $. Uwzględniając znaleziony wcześniej pierwiastek $ x = 2 $ mamy pełne rozwiązanie:

\[<br />
\{x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}: L(x) = P(x)\} = \{-\sqrt{2},-1,\sqrt{3},2\}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź