XLIV OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 3 $. Rozwiązać układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
\tan x_1 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_2 \\<br />
\tan x_2 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_3 \\<br />
\ldots \ldots \ldost \ldots \\<br />
\tan x_{n-1} + 3\cot x_{n-1} &= 2 \tan x_n \\<br />
\tan x_n + 3\cot x_n &= 2 \tan x_1 \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby $ x_1,\ldots, x_n $ spełniają podany układ. Przyjmijmy

\[<br />
t_i = \tan x_i  \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n    \quad \textrm{oraz} \quad t_{n+1}=t_1.<br />
\]

Rozważany układ równań przybiera postać

\[<br />
(1) \qquad   t_i + \frac{3}{t_i} = 2t_{i+1} \quad       \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n.<br />
\]

Wynika stąd, w szczególności, że liczby $ t_1,\ldots ,t_n $ są jednakowego znaku. W takim razie układ (1) implikuje układ

\[<br />
|t_i| + \frac{3}{|t_i|} = 2|t_{i+1}| \quad       \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n.<br />
\]

Przepiszmy te równania w równoważnych postaciach

\[<br />
(2) \qquad  |t_{i+1}| = \frac{(|t_i|-\sqrt{3})^2}{2|t_i|} + \sqrt{3} \quad   \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n<br />
\]

oraz

\[<br />
(3) \qquad  |t_{i+1}| = |t_i| + \frac{3-t_i^2}{2|t_i|}    \quad   \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n.<br />
\]

Z postaci (2) widać, że dla każdego $ i $ zachodzi nierówność $ |t_{i+1}| \geq \sqrt{3} $. Tak więc żadna z liczb $ |t_1|, \ldots, |t_n| $ nie jest mniejsza niż $ \sqrt{3} $. W takim razie $ 3 - t^2_i \leq 0 $ dla $ i = 1,\ldots,n $, skąd na podstawie zależności (3):

\[<br />
|t_1|\geq |t_2| \geq \ldots \geq |t_n| \geq |t_{n+1}|.<br />
\]

Skoro zaś $ t_{n+1} = t_1 $, nierówności te muszą być faktycznie równościami. Wobec tego (por. (3)) różnica $ 3 -t^2_i $ jest dla wszystkich $ i $ równa zeru. A ponieważ liczby $ t_1,\ldots,t_n $ są jednakowego znaku, więc ostatecznie

\[<br />
t_1=t_2=\ldots=t_n=\sqrt{3} \quad \textrm{lub} \quad t_1=t_2=\ldots=t_n=-\sqrt{3}.<br />
\]

W pierwszym przypadku uzyskujemy rozwiązanie

\[<br />
x_i = \frac{1}{3}\pi + k_i \pi       \quad   \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n,<br />
\]

a w drugim

\[<br />
x_i = -\frac{1}{3}\pi + k_i \pi      \quad   \textrm{dla }   i = 1,\ldots,n,<br />
\]

przy czym $ k_1,\ldots, k_n $ mogą, być dowolnymi liczbami całkowitymi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź