XLIV OM - I - Zadanie 3

Dany jest sześciokąt $ ABCDEF $ mający środek symetrii. Oznaczmy przez $ A' $ punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ EF $, przez $ B' $ - punkt przecięcia prostych $ BC $ i $ AF $, a przez $ C' $ - punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $. Dowieść, że $ |AB| \cdot |BC| \cdot |CD| = |AA'| \cdot |BB'| \cdot |CC'| $.

Rozwiązanie

Dany sześciokąt ma środek symetrii. Jego przeciwległe boki są więc równoległe i równej długości; w szczególności zachodzą związki:

\[<br />
EF\parallel  BC, \quad     FA \parallel CD,  \quad     |FA| = |CD|.<br />
\]

Ponieważ punkty $ A' $ i $ B' $ leżą odpowiednio na prostych $ EF $ i $ BC $, a punkty $ B' $ i $ C' $ leżą odpowiednio na prostych $ FA $ i $ CD $, zatem możemy przepisać poprzednie związki równoległości jako

\[<br />
A'F\parallel BB',\quad AB'\parallel C'C.<br />
\]

Z pierwszego z nich wynika, że trójkąt $ A'AF $ jest podobny do trójkąta $ BAB' $, a z drugiego - że trójkąt $ BAB' $ jest podobny do trójkąta $ BC'C $ (rysunek 1). Uzyskujemy w ten sposób proporcje

\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AB'|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|BB'|}{|BC|}=\frac{|AB'|}{|C'C|},<br />
\]

które - pomnożone stronami - dają związek

\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} =\frac{|AF|}{|CC'|}.<br />
\]

Ponieważ zaś $ |AF| = |CD| $, zatem, ostatecznie,

\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} \cdot \frac{|CC'|}{|CD|}=1.<br />
\]

Warto zauważyć, że rozumowanie jest niezależne od tego, czy sześciokąt $ ABCDEF $ jest wypukły, czy nie (rysunek 1).
om44_1r_img_1.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź