XLIV OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ takie, że

\[<br />
f(x+y)-f(x-y)=f(x)\cdot f(y) \quad \text{ dla } x,y \in \mathbb{R}.<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $ f $ spełnia dane równanie funkcyjne. Podstawiając $ x = y = 0 $ dostajemy równość $ f(0) = 0 $. Podstawiając następnie w równaniu $ x = 0 $ (i wiedząc, że $ f(0) = 0 $) dostajemy zależność

\[<br />
f(y)-f(-y) = 0  \quad \textrm{dla wszystkich }  y \in \mathbb{R}.<br />
\]

To znaczy, że $ f $ jest funkcją parzystą.

Weźmy dowolną liczbę $ y \in \mathbb{R} $ i podstawmy w danym równaniu kolejno $ x = y $ oraz $ x = - y $. Otrzymujemy związki

\[<br />
f(2y) = f(y)^2 \quad     \textrm{oraz} \quad      - f(-2y) = f(-y)f(y).<br />
\]

Wobec parzystości funkcji $ f $, prawe strony tych związków są liczbami równymi (bo $ f(-y) = f(y) $), a lewe ich strony są liczbami przeciwnymi (bo $ f(-2y) = f(2y) $). Wszystkie te liczby muszą więc być zerami. Z dowolności wyboru liczby $ y $ wynika, że $ f $ jest funkcją równą tożsamościowo zeru.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź