XLIV OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dane są punkty

\[<br />
A_0 = (0,0,0),\; A_1 = (1,0,0),\; A_2 = (0,1,0),\; A_3 = (0,0,1).<br />
\]

Niech $ P_{ij} $ ($ i,j \in \{0,1,2,3\} $) będą punktami wyznaczonymi przez równość $ \overrightarrow{A_0P_{ij}} = \overrightarrow{A_iA_j} $. Obliczyć objętość najmniejszego wielościanu wypukłego zawierającego wszystkie punkty $ P_ij $.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę punkty $ B_1 $, $ B_2 $, $ B_3 $, symetryczne odpowiednio do $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $ względem punktu $ A_0 $ (początku układu współrzędnych):

\[<br />
B_1 = (-1,0,0),  \quad    B_2 = (0,-1,0),  \quad    B_3 = (0,0,-1).<br />
\]

Rozpatrywane punkty

\[<br />
P_{12} = (-1,1,0), \quad     P_{23} = (0,-1,1),   \quad   P_{31} = (1,0,-1),<br />
\]
\[<br />
P_{21} = (1,-1,0), \quad P_{32} = (0,1,-1),  \quad    P_{13} = (-1,0,1)<br />
\]

oraz

\[<br />
P_{01} = A_1,\   P_{02} = A_2,\   P_{03} = A_3,\   P_{10} = B_1,\   P_{20} = B_2,\   P_{30} = B_3<br />
\]

leżą na brzegu sześcianu o wierzchołkach $ (\pm1,\pm1,\pm1) $. Oczywiście punkty $ P_{00} $, $ P_{11} $, $ P_{22} $, $ P_{33} $ pokrywają się z $ A_0 $, środkiem sześcianu.

Interesuje nas najmniejszy wielościan wypukły zawierający wszystkie punkty $ P_{ij} $. Oznaczmy ten wielościan przez $ \mathcal{W} $. Zawiera on każdy wielościan wypukły, którego wierzchołkami są pewne spośród tych punktów. Zawiera więc (w szczególności):

\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_1 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, A_1, A_3, B_2, P_{21}, P_{23};\\<br />
\textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_2 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, A_2, A_3, B_1, P_{12}, P_{13};\\<br />
\textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_3 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, B_1, B_2, A_3, P_{13}, P_{23};\\<br />
\textrm{czworościan}\quad \mathcal{C} \ \ \ \textrm{o wierzchołkach } A_0 , A_1, A_2, A_3.<br />
\end{array}<br />
\]

Oznaczmy przez $ \mathcal{U} $ sumę tych czterech brył (rysunek 3). Jej obraz w symetrii środkowej względem punktu $ A_0 $ oznaczmy przez $ \mathcal{V} $. Suma $ \mathcal{U} \cup \mathcal{V} $ jest więc podzbiorem szukanego wielościanu $ \mathcal{W} $.
om44_1r_img_3.jpg
Bryła $ \mathcal{U} $ jest wielościanem wypukłym o ośmiu ścianach; są nimi:

\[<br />
\begin{array}{ll}<br />
\textrm{sześciokąt} &  A_1 A_2P_{12}B_1B_2BP_{21};\\<br />
\textrm{prostokąty}& A_1A_3P_{23}P_{21}, \ A_2A_3P_{13}P_{12},\ B_1B_2P_{23}P_{13};\\<br />
\textrm{trójkąty}& B_2P_{21}P_{23},\ B_1P_{12}P_{13},\ A_3P_{13}P_{23},\ A_1A_2A_3.<br />
\end{array}<br />
\]

Płaszczyzna każdej z tych ścian dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie. Z każdej pary półprzestrzeni wyznaczonych przez ścianę czworokątną lub trójkątną wybierzmy tę, która zawiera punkt $ A_0 $. Z pary półprzestrzeni wyznaczonych przez ścianę sześciokątną wybierzmy tę, która składa się z punktów $ (x,y,z) $ o współrzędnej $ z \geq 0 $ (,,górną''); oznaczmy ją przez $ \mathcal{P}_0 $, a pozostałe wybrane półprzestrzenie oznaczmy (w dowolnej kolejności) przez $ \mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_7 $. Wielościan $ \mathcal{U} $ jest wówczas częścią wspólną tak wybranych półprzestrzeni.

Przez symetrię, wielościan $ \mathcal{V} $ jest częścią wspólną ośmiu półprzestrzeni $ \mathcal{Q}_0, \mathcal{Q}_1, \ldots, \mathcal{Q}_7 $, gdzie $ \mathcal{Q}_i $ oznacza półprzestrzeń symetryczną do $ \mathcal{P}_i $ względem punktu $ A_0 $. Tak więc

\[<br />
(1) \qquad  \mathcal{U} =\mathcal{P}_0 \cap \mathcal{P}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{P}_7,     \quad \mathcal{V} = \mathcal{Q}_0 \cap \mathcal{Q}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{Q}_7.<br />
\]

Żadna z płaszczyzn ścian trójkątnych lub czworokątnych wielościanu $ \mathcal{U} $ nie przecina wnętrza wielościanu $ \mathcal{V} $. Wobec tego $ \mathcal{V} $ jest podzbiorem każdej z półprzestrzeni $ \mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_7 $. Przez symetrię, $ \mathcal{U} $ jest podzbiorem każdej z półprzestrzeni $ \mathcal{Q}_1, \ldots, \mathcal{Q}_7 $. Stąd oraz ze związków (1) dostajemy inkluzję

\[<br />
(2) \qquad  \mathcal{U} \cup \mathcal{V} \subset \mathcal{P}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{P}_7\cap\mathcal{Q}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{Q}_7.<br />
\]

Na odwrót, każdy punkt należący do przecięcia tych czternastu półprzestrzeni należy do któregoś ze zbiorów $ \mathcal{U} $ lub $ \mathcal{V} $ (w zależności od tego, czy jest położony w ,,górnej'' półprzestrzeni $ \mathcal{P}_0 $, czy w „dolnej'' półprzestrzeni $ \mathcal{Q}_0 $); wynika to z równości (1). W takim razie inkluzja (2) jest równością zbiorów.

Stąd wniosek, że zbiór $ \mathcal{U}\cup \mathcal{V} $, jako część wspólna czternastu półprzestrzeni, jest wielościanem wypukłym. A ponieważ zawiera on wszystkie punkty $ P_{ij} $, zatem musi zawierać cały wielościan $ \mathcal{W} $ - w myśl definicji tego ostatniego. Wcześniej stwierdziliśmy, że $ \mathcal{U} \cup \mathcal{V} $ jest podzbiorem $ \mathcal{W} $. Uzyskujemy w ten sposób równość $ \mathcal{U}  \cup \mathcal{V}=\mathcal{W} $.

Pozostaje obliczyć objętość tego wielościanu. Każdy z graniastosłupów $ \mathcal{B}_1 $, $ \mathcal{B}_2 $, $ \mathcal{B}_3 $ ma w podstawie trójkąt prostokątny o obu przyprostokątnych długości $ 1 $ oraz ma wysokość $ 1 $. Objętość każdego z nich jest więc równa $ 1/2 $. Czworościan $ \mathcal{C} $ jest ostrosłupem o wysokości $ 1 $, mającym w podstawie taki sam trójkąt prostokątny; ma więc objętość $ 1/6 $. Łączna objętość tych czterech brył, czyli objętość wielościanu $ \mathcal{U} $, wynosi zatem $ 5/3 $. Wielościan $ \mathcal{V} $, który jest przystający do $ \mathcal{U} $, ma także objętość $ 5/3 $. Ostatecznie więc, objętość badanego wielościanu $ \mathcal{W} = \mathcal{U} \cup \mathcal{V} $ równa się $ 10/3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź