XLIV OM - I - Zadanie 9

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi nierówność

\[<br />
\begin{split}<br />
(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)&(c^2+a^2-b^2) \leq \\<br />
&\leq (a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2<br />
\end{split}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy:

\[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
b^2 +c^2 - a^2 = A,   &   c^2 + a^2-b^2 = B,  &    a^2 + b^2-c^2 = C,\\<br />
 b + c-a = x,& c + a-b = y,& a + b-c = z.<br />
\end{array}<br />
\]

Mamy udowodnić nierówność

\[<br />
\nr{I} ABC\leq x^2y^2z^2.<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
B + C = 2a^2 \geq 0, \quad    C + A = 2b^2 \geq 0,\quad      A+ B = 2c^2 \geq 0,<br />
\]

zatem co najwyżej jedna spośród liczb $ A $, $ B $, $ C $ może być ujemna. Jeśli jest taka, wówczas $ ABC \leq0 $, więc nierówność (1) zachodzi.

Przyjmijmy teraz, że $ A,B,C\geq 0 $. Zauważmy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2y^2-AB &=\\<br />
&= [(c - (a - b)) (c + (a - b))]^2 - [c^2 - (a^2 - b^2)] [c^2 + (a^2 - b^2)] =\\<br />
&= [c^2-(a-b)^2]^2-[c^4-(a^2-b^2)^2] =\\<br />
&= [c^4-2c^2(a-b)^2 + (a-b)^4]-[c^4-(a-b)^2(a + b)^2] =\\<br />
&= (a-b)^2[-2c^2 + (a-b)^2 + (a + b)^2] = (a - b)^2 ( - 2c^2 + 2a^2 +2b^2) =\\<br />
&= 2C(a-b)^2 \geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Analogicznie stwierdzamy, że

\[<br />
y^2z^2-BC = 2A(b-c)^2 \geq 0    \quad  \textrm{oraz} \quad     z^2x^2 -CA = 2B(c-a)^2 \geq 0.<br />
\]

Zatem

\[<br />
x^2y^2 \geq AB,   \quad   y^2z^2\geq BC, \quad z^2x^2 \geq CA.<br />
\]

Mnożymy stronami te nierówności i dostajemy w wyniku

\[<br />
(2) \qquad  (x^2y^2z^2)^2 > (ABC)^2.<br />
\]

Iloczyny $ x^2y^2z^2 $ oraz $ ABC $ są liczbami nieujemnymi. W takim razie z nierówności (2) wynika nierówność (1), której wykazanie było naszym celem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź