XLIV OM - I - Zadanie 10

Funkcja $ f $ przekształcająca sześcian $ \mathcal{C} $ na $ \mathcal{C} $ spełnia warunek

\[<br />
|PQ| \geq |f(P)f(Q)| \quad \text{ dla } P,Q\in \mathcal{C}.<br />
\]

Wykazać, że $ f $ jest izometrią.

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki sześcianu przez $ B_1, \ldots ,B_8 $ w taki sposób, by kwadrat $ B_1B_2B_3B_4 $ był jedną ze ścian, a odcinki $ B_1B_5 $, $ B_2B_6 $, $ B_3B_7 $, $ B_4B_8 $ były czterema równoległymi krawędziami; długość krawędzi przyjmujemy za jednostkę.

Funkcja $ f $ (z założenia) przekształca sześcian $ \mathcal{C} $ na cały sześcian $ \mathcal{C} $. Zatem, w szczególności, każdy wierzchołek jest obrazem pewnego punktu sześcianu.

Końce każdej z czterech przekątnych sześcianu (długości $ \sqrt{3} $) są obrazami w odwzorowaniu $ f $ pewnych punktów sześcianu $ \mathcal{C} $ odległych od siebie, zgodnie z warunkiem nałożonym na $ f $, o nie mniej niż $ \sqrt{3} $ - a więc także końców pewnej przekątnej. Wobec tego każdy wierzchołek jest obrazem pewnego wierzchołka. Oznaczmy przez $ A_i $ ten wierzchołek, którego obrazem jest $ B_i $:

\[<br />
f(A_i) = B_i,  \quad    \textrm{dla }  i = 1,\ldots,8.<br />
\]

Różnym punktom $ B_i $ muszą odpowiadać różne punkty $ A_i $. To znaczy, że w zbiorze $ \{A_1,\ldots,A_8\} $ nie ma powtórzeń, są tam wszystkie wierzchołki sześcianu. Innymi słowy, układ punktów $ (A_1,\ldots,A_8) $ jest permutacją układu $ (B_1,\ldots,B_8) $. Każda z par $ \{A_1,A_7\} $, $ \{A_2,A_8\} $, $ \{A_3,A_5\} $, $ \{A_4,A_6\} $ jest odwzorowywana na odpowiednią parę $ \{B_1,B_7\} $, $ \{B_2,B_8\} $, $ \{B_3,B_5\} $, $ \{B_4,B_6\} $, czyli na końce pewnej przekątnej. Zgodnie z wcześniejszym spostrzeżeniem, każda z wymienionych przed chwilą par $ \{A_i,A_j\} $ jest też parą końców pewnej przekątnej. Mamy więc związki:

\[<br />
|A_1A_7| = |A_2A_8| = |A_3A_5| = |A_4A_6| = \sqrt{3},<br />
\]

a ponadto

\[<br />
|A_iA_j| \leq \sqrt{2} \quad \textrm{dla innych par numerów} \ (i,j)<br />
\]

(bo tylko cztery odcinki $ A_iA_j $ mogą być przekątnymi sześcianu, i są nimi odcinki figurujące w poprzedniej równości).

Punkty $ B_1 $, $ B_3 $, $ B_6 $, $ B_8 $ są wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi długości $ \sqrt{2} $. Dla $ i,j \in \{1,3,6,8\} $, $ i\neq j $, mamy więc zależności

\[<br />
\sqrt{2} = |B_iB_j| \leq |A_iA_j| \leq \sqrt{2};<br />
\]

w takim razie $ A_1A_3A_6A_8 $ też jest czworościanem foremnym o krawędzi $ \sqrt{2} $.
om44_1r_img_4.jpg
Niech $ g $ będzie izometrią wyznaczoną przez warunki:

\[<br />
g(B_i) = A_i  \quad    \textrm{dla }   i \in\{1,3,6,8\}<br />
\]

(izometria przestrzeni jest wyznaczona przez ustalenie jej wartości na dowolnych czterech punktach niewspółpłaszczyznowych). Punkt $ B_7 $ leży w odległości $ 1 $ od każdego z punktów $ B_3 $, $ B_6 $, $ B_8 $ oraz w odległości $ \sqrt{3} $ od punktu $ B_1 $; zatem punkt $ g(B_7) $ leży w odległości $ 1 $ od każdego z punktów $ A_3 $, $ A_6 $, $ A_8 $ oraz w odległości $ \sqrt{3} $ od punktu $ A_1 $. Jest tylko jeden taki punkt w przestrzeni - mianowicie punkt $ A_7 $ (rysunek 4). To znaczy, że $ g(B_7) = A_7 $. Podobnie wykazujemy, że $ g(B_2) = A_2 $, $ g(B_4) = A_4 $, $ g(B_5) = A_5 $.

Weźmy pod uwagę przekształcenie $ h = g \circ f $ (złożenie przekształceń $ g $ i $ f $). Z uzyskanych przed chwilą równości oraz z warunku zadania wynika, że przekształcenie $ h $ ma następujące własności:

\[<br />
h(A_i) = A_i \quad     \textrm{dla }  i = 1,\ldots ,8<br />
\]

oraz

\[<br />
|PQ| \geq |h(P)h(Q)| \quad \textrm{dla } P,Q \in \mathcal{C}.<br />
\]

Wykażemy teraz, że jeśli $ M,N \in \mathcal{C} $ dowolnymi punktami stałymi odwzorowania $ h $ (to znaczy takimi, że $ h(M) = M $, $ h(N) = N $), to wówczas każdy punkt $ P $ należący do odcinka $ MN $ również jest punktem stałym odwzorowania $ h $.

Istotnie: dla par punktów $ M $, $ P $ oraz $ N $, $ P $ zachodzą nierówności

\[<br />
|MP| \geq |h(M)h(P)|,    \quad  |NP| \geq |h(N)h(P)|.<br />
\]

Gdyby punkt $ h(P) $ nie pokrywał się z $ P $, to co najmniej jedna z nich byłaby ostra i dostalibyśmy nierówność

\[<br />
|MN| = |MP| + |PN| > |h(M)h(P)| + |h(P)h(N)| \geq |h(M)h(N)| = |MN|,<br />
\]

która oczywiście zachodzić nie może. Uzyskana sprzeczność dowodzi słuszności spostrzeżenia zawartego w poprzednim akapicie.

Opierając się na tym spostrzeżeniu stwierdzamy kolejno, że równość $ h(P) = P $ zachodzi:

  1. dla każdego punktu $ P $ leżącego na dowolnej krawędzi sześcianu $ \mathcal{C} $ (bo zachodzi dla wszystkich wierzchołków, a więc w szczególności dla końców tej krawędzi);
  2. dla każdego punktu $ P $ leżącego na dowolnej ścianie sześcianu $ \mathcal{C} $ (bo każdy taki punkt należy do pewnego odcinka o końcach na krawędziach $ \mathcal{C} $, więc wystarczy skorzystać z konkluzji (1));
  3. dla każdego punktu $ P $ leżącego wewnątrz sześcianu $ \mathcal{C} $ (bo każdy taki punkt należy do pewnego odcinka o końcach na ścianach $ \mathcal{C} $, więc wystarczy skorzystać z konkluzji (2)).

Wobec tego odwzorowanie $ h = g \circ f $ jest identycznościowym przekształceniem sześcianu $ \mathcal{C} $ na $ \mathcal{C} $. A skoro $ g $ jest izometrią, zatem i $ f $ jest izometrią.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź