XLIV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że wielomian $ x^n + 4 $ jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest liczbą podzielną przez $ 4 $.

Rozwiązanie

\spos{I} Załóżmy, że wielomian $ x^4 + 4 $ jest iloczynem dwóch wielomianów,

\[<br />
(1) \qquad  x^n + 4 = F(x)G(x),<br />
\]

o rozważanych własnościach:

\[<br />
F(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_kx^k, \quad     G(x) = b_0 + b_1x + \ldots + b_mx^m;<br />
\]
\[<br />
a_i, b_j \textrm{ całkowite;} \quad      0<k<n, \quad   0 < m < n, \quad  k + m = n.<br />
\]

W iloczynie $ F(x)G(x) $ współczynnik przy $ x^n $ wynosi $ a_kb_m $, a wyraz wolny równa się $ a_0b_0 $. Zachodzą więc równości

\[<br />
a_0b_0 = 4 \quad     \textrm{oraz} \quad      a_kb_m = 1.<br />
\]

Liczby $ a_k $, $ b_m $ są całkowite; tak więc $ a_k = b_m = 1 $ lub $ a_k = b_m = -1 $. Przyjmijmy dodatkowo:

\[<br />
(2) \qquad  a_i=0 \quad    \textrm{dla }  i>k, \quad b_j = 0 \quad    \textrm{dla } j>m.<br />
\]

Niech $ \alpha $ będzie najmniejszym numerem takim, że $ a_\alpha $ jest liczbą nieparzystą i niech $ \beta $ będzie najmniejszym numerem takim, że $ b_\beta $ jest liczbą nieparzystą. Skoro $ a_k = b_m = \pm 1 $, zatem $ \alpha \leq k $, $ \beta \leq m $. Współczynnik przy $ x^{\alpha+\beta} $ w iloczynie $ F(x)G(x) $ równa się

\[<br />
(3) \qquad  a_{\alpha+\beta}b_0 + a_{\alpha+\beta-1}b_1 + \ldots + a_{\alpha}b_{\beta} + \ldots + a_1b_{\alpha+\beta-1} + a_0b_{\alpha+\beta}<br />
\]

(dzięki przyjętemu określeniu (2), wszystkie symbole mają sens także wtedy, gdy $ \alpha+ \beta $ przekracza $ k $ lub $ m $). W sumie (3) składnik $ a_\alpha b_\beta $ jest liczbą nieparzystą; każdy z pozostałych składników jest liczbą parzystą (bowiem jest iloczynem postaci $ a_ib_j $, gdzie $ i < \alpha $ lub $ j < \beta $, więc co najmniej jeden z czynników $ a_i $, $ b_j $ jest parzysty). Wobec tego cała suma (3) jest nieparzysta.

W wielomianie (1) jedynie $ x^n $ występuje ze współczynnikiem nieparzystym. Stąd $ \alpha + \beta = n $, czyli muszą zachodzić równości $ \alpha = k $ oraz $ \beta = m $. Zgodnie z określeniem numerów $ \alpha $ i $ \beta $ otrzymujemy wniosek:

\[<br />
(4) \qquad  a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}, b_0,b_1,\ldots,b_{m-1} \quad  \textrm{są liczbami parzystymi.}<br />
\]

Ponieważ $ a_0b_0 = 4, $ zatem $ a_0 = b_0 = 2 $ lub $ a_0 = b_0  = - 2 $.

Wykażemy, że $ k = m $. Przypuśćmy, że $ k \neq m $; niech na przykład $ k<m $ (takie zawężenie przypuszczenia nie zmniejsza ogólności rozważań, z uwagi na symetrię ról $ k $ i $ m $). Iloczyn wielomianów $ F(x) $ i $ G(x) $ zapisujemy w postaci

\[<br />
(5) \qquad  F(x)G(x) = P(x) + Q(x) + x^n,<br />
\]

gdzie

\[<br />
\begin{split}<br />
\begin{split}<br />
P(x) &= (a_0+a_1x + \ldots + a_{k-1}x^{k-1})(b_0 + b_1x + \ldots + b_{m-1}x^{m-1}),\\<br />
Q(x) &= (a_kb_0x^k + a_kb_1x^{k+1} + \ldots + a_kb_{m-1}x^{n-1}) +<br />
\end{split}\\<br />
+ (b_ma_0x^m + b_ma_1 x^{m+1} + \ldots + b_ma_{k-1}x^{n-1}).<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec własności (4), wszystkie współczynniki wielomianu $ P(x) $ są podzielne przez $ 4 $. Współczynnik przy $ x^k $ w wielomianie $ Q(x) $ równa się $ a_kb_0 $. Wcześniej stwierdziliśmy, że $ a_k = \pm 1 $ oraz $ b_0 = \pm 2 $. W takim razie współczynnik przy $ x^k $ w wielomianie $ P(x) + Q(x) $ jest liczbą parzystą niepodzielną przez $ 4 $. Jest to sprzeczność, bowiem w myśl równości (1) i (5) suma $ P(x) + Q(x) $ jest wielomianem o stałej wartości $ 4 $.

Ta sprzeczność dowodzi, że $ k = m $; zatem $ n = k + m = 2k $, i w konsekwencji

\[<br />
(6) \qquad  F(x)G(x) = x^{2k} + 4 > 0 \quad     \textrm{dla wszystkich } x \in \mathbb{R}.<br />
\]

Stąd zaś wynika, że żaden z wielomianów $ F(x) $, $ G(x) $ nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc musi być stopnia parzystego. To znaczy, że $ k $ jest liczbą parzystą, czyli $ n $ jest liczbą podzielną przez $ 4 $.

Na odwrót, jeśli $ n = 4l $, $ l \in N $, to żądany rozkład istnieje i ma postać

\[<br />
(7) \qquad  x^n + 4 = (x^{2l} + 2x^l + 2) (x^{2l} - 2x^l + 2).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź