XLIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że dla liczb dodatnich $ x $, $ y $, $ u $, $ v $ zachodzi nierówność

\[<br />
\frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v}<br />
\]

Rozwiązanie

Mnożąc stronami przez iloczyn wszystkich mianowników przekształcamy daną nierówność do postaci równoważnej

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad        (xy + xv + uy + uv)&(x + y)(u + v) \geq\\<br />
&\geq (x+ y + u + v) [xy(u + v) + (x + y)uv].<br />
\end{split}<br />
\]

Oznaczmy lewą i prawą stronę (1) odpowiednio przez $ L $ i $ P $ oraz przyjmijmy

\[<br />
z = x + y,    \quad   w=u + v,   \quad   p=xy,  \quad    q = uv.<br />
\]

Wówczas

\[<br />
L = (p+q + xv+yu)zw = pzw + qzw + xvzw + yuzw,<br />
\]
\[<br />
P = (z + w)(pw + qz) = pzw + qzw + pw^2 +qz^2,<br />
\]

skąd

\[<br />
\begin{split}<br />
L - P &= xv zw + yuzw - pw^2 - qz^2 =\\<br />
&= xvzw + yuzw - xyw^2 - uvz^2 = (vz - yw)(xw - uz).<br />
\end{split}<br />
\]

Zauważmy teraz, że

\[<br />
vz - yw = v(x + y) - y(u + v) = xv - yu<br />
\]

oraz

\[<br />
xw - uz = x(u + v) - u(x + y) = xv - yu.<br />
\]

Zatem, ostatecznie,

\[<br />
L-P = (xv-yu)^2 \geq 0.<br />
\]

Nierówność (1), równoważna nierówności danej w zadaniu, została w ten sposób wykazana.

Komentarze

inny sposób

jako że rozwiązanie to i tak jest długie to proponuję prawą stronę nierówności sprowadzić do wspólnego mianownika, następnie nierówność wymnożyć na krzyż (liczby dodatnie) i po redukcji pozostanie nam pokazanie nierówności:
x^2*v^2+y^2*u^2>=2xyuv , która jest banalna w dowodzie

Dodaj nową odpowiedź