XLIV OM - II - Zadanie 3

Na krawędzi $ |OA_1| $ czworościanu $ |OA_1B_1C_1| $ wybrano punkty $ A_2 $, $ A_3 $ tak, że $ |OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O $. Niech $ B_2 $, $ B_3 $ będą takimi punktami krawędzi $ |OC_1| $, a $ C_2 $, $ C_3 $ - takimi punktami krawędzi $ |OC_1| $, że płaszczyzny $ |A_1B_1C_1| $, $ |A_2B_2C_2| $, $ |A_3B_3C_3| $ są równoległe. Oznaczmy przez $ V_i $ ($ i=1,2,3 $) objętość czworościanu $ |OA_iB_iC_i| $, a przez $ V $ objętość czworościanu $ |OA_1B_2C_3| $. Udowodnić, że $ V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ B_1' $, $ B_2' $ rzuty prostokątne punktów $ B_1 $, $ B_2 $ na płaszczyznę $ OA_1C_1 $, a przez $ C_1' $, $ C_3' $ - rzuty punktów $ C_1 $, $ C_3 $ na płaszczyznę $ OA_1B_1 $ (rysunek 7; wygodnie jest za każdym razem wyobrażać sobie czworościan tak usytuowany, by ściana, na którą rzutujemy, była jego ,,poziomą'' podstawą). Z podobieństwa par trójkątów $ OB_1B_1' $ i $ OB_2B_2' $ oraz $ OC_1C_1' $ i $ OC_3C_3' $ wynikają proporcje

\[<br />
\frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{|OB_2|}{|OB_1|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{|OC_3|}{|OC_1|};<br />
\]

natomiast z podobieństwa par trójkątów $ OA_1B_1 $ i $ OA_2B_2 $ oraz $ OA_1C_1 $ i $ OA_3C_3 $ wynikają proporcje

\[<br />
\frac{|OB_2|}{|OB_1|}=\frac{|OA_2|}{|OA_1|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|OC_3|}{|OC_1|} = \frac{|OA_3|}{|OA_1|}.<br />
\]

Długości odcinków $ OA_1 $, $ OA_2 $, $ OA_3 $ oznaczmy krótko przez $ a_1 $, $ a_2 $, $ a_3 $. Z wypisanych proporcji uzyskujemy związki

\[<br />
\frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{a_2}{a_1} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{a_3}{a_1}.<br />
\]

om44_2r_img_7.jpg
Weźmy pod uwagę czworościany $ OA_1B_2C_3 $ i $ OA_1B_2C_1 $. Mają one wspólną ścianę (,,podstawę'') $ OA_1B_2 $, a więc stosunek ich objętości równa się stosunkowi wysokości opuszczonych na tę ścianę:

\[<br />
\frac{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_3)}{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_1)}=\frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{a_3}{a_1}.<br />
\]

Z kolei czworościany $ OA_1B_2C_1 $ i $ OA_1B_1C_1 $ mają wspólną ścianę $ OA_1C_1 $, więc (analogicznie) stosunek ich objętości równa się stosunkowi odpowiednich wysokości:

\[<br />
\frac{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_1)}{\textrm{objętość}(OA_1B_1C_1)}=\frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{a_2}{a_1}.<br />
\]

Mnożąc stronami związki (1) i (2) (oraz używając wprowadzonych w treści zadania oznaczeń $ V $, $ V_1 $) dostajemy równość

\[<br />
\frac{V}{V_1}=\frac{a_2a_3}{a_1^2}.<br />
\]

Przy wyprowadzaniu tego wzoru nie korzystaliśmy nigdzie z założenia, że $ a_1 >a_2 > a_3 $. Można powtórzyć to samo rozumowanie, zmieniając dowolnie role wskaźników $ 1 $, $ 2 $, $ 3 $. Otrzymujemy analogiczne proporcje

\[<br />
\frac{V}{V_2}=\frac{a_3a_1}{a_2^2}, \quad \frac{V}{V_3}=\frac{a_1a_2}{a_3^2}.<br />
\]

Te trzy proporcje, po wymnożeniu stronami, dają równość $ V^3/(V_1V_2 V_3) = 1 $, czyli $ V^3 = V_1V_2V_3 $. Stąd, na mocy nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną,

\[<br />
V=\sqrt[3]{V_1V_2V_3}\leq \frac{1}{3}(V_1+V_2+V_3).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź