XLIV OM - II - Zadanie 6

Dana jest funkcja ciągła $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniająca warunki:

\[<br />
f(1000) =999, \quad f(x)\cdot f(f(x)) = 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbf{R}.<br />
\]

Obliczyć $ f(500) $.

Rozwiązanie

W podanym równaniu

\[<br />
(1) \qquad  f(x)\cdot f(f(x)) = 1<br />
\]

podstawiamy $ x = 1000 $ i otrzymujemy równość $ 999 \cdot f(999) = 1 $, czyli

\[<br />
f(999) = \frac{1}{999}.<br />
\]

Z kolei podstawmy w (1) $ x = 999 $: dostaniemy związek $ \frac{1}{999} \cdot f\left(\frac{1}{999}\right) = 1 $, czyli

\[<br />
f\left( \frac{1}{999}\right) = 999.<br />
\]

Widzimy, że liczby $ 1/999 $ oraz $ 999 $ są wartościami funkcji $ f $. Zgodnie z założeniem, funkcja ta jest ciągła, a więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie; w szczególności przyjmuje wartość $ 500 $. To znaczy, że dla pewnej liczby rzeczywistej $ x_0 $ zachodzi równość $ f(x_0) = 500 $.

Przyjmijmy $ x = x_0 $ w równaniu (1): uzyskujemy związek $ 500\cdot f(500) = 1 $. Zatem

\[<br />
f(500) = \frac{1}{500}.<br />
\]

Jest to odpowiedź na postawione pytanie.

Uwaga Ani z treści zadania, ani z przeprowadzonego rozumowania nie jest oczywiste, czy funkcja spełniająca warunki zadania w ogóle istnieje. Warto więc podać przykład takiej funkcji:

\[<br />
f(x)=\left\{\begin{split}<br />
&999 \textrm{ dla } x \in (-\infty; \frac{1}{999}\rangle \cup \langle 1000;\infty), \\<br />
&\frac{1}{x} \textrm{ dla } x\in  \left\langle \frac{1}{999};999 \right\rangle, \\<br />
&\textrm{liniowa w przedziale } (999; 1000).<br />
\end{split}\right.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź