XLIV OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach wymiernych $ t $, $ w $, $ x $, $ y $, $ z $ układ równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
2xy &= t^2 - w^2 + z^2 \\<br />
2xz &= t^2 - y^2 + w^2 \\<br />
2yz &= t^2 - w^2 + r^2. \\<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby wymierne $ t $, $ w $, $ x $, $ y $, $ z $ spełniają podany układ równań. Odejmujemy stronami równanie trzecie od pierwszego: otrzymujemy równość $ 2xy - 2yz = z^2 - x^2 $, czyli

\[<br />
(1) \qquad  (x-z)(2y + x + z) = 0.<br />
\]

Dodajemy stronami drugie i trzecie równanie układu: otrzymujemy równość $ 2xz + 2yz = 2t^2+x^2-y^2 $, czyli

\[<br />
(2) \qquad  (x + y)(2z-x + y) = 2t^2.<br />
\]

Wreszcie, korzystając z wszystkich trzech równań układu, dostajemy związek

\[<br />
(3) \qquad \begin{split}<br />
& (x-y + z)^2 = x^2 + y^2 +z^2 -2xy + 2xz-2yz =\\<br />
&\qquad= x^2 +y^2 +z^2 -(t^2 -w^2 +z^2) + (t^2 -y^2 +w^2)-(t^2 -w^2 +x^2) = \\<br />
&\qquad= 3w^2-t^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Z równania (1) wnosimy, że

\[<br />
(4) \qquad  z = x    \quad \textrm{lub} \quad      z = - x - 2y.<br />
\]

Pierwsza z tych możliwości daje, po podstawieniu do równania (2),

\[<br />
(5) \qquad  (x + y)^2=2t^2,<br />
\]

a druga -

\[<br />
(6) \qquad  -3(x + y)^2 = 2t^2.<br />
\]

Przypuśćmy, że zachodzi równość (5). Gdyby $ t $ było liczbą różną od zera, otrzymalibyśmy związek $ ((x + y)/t)^2 =2 $, który - wobec wymierności liczb $ t $ oraz $ x + y $ - zachodzić nie może (bo liczba $ 2 $ nie jest kwadratem liczby wymiernej). Zatem liczba $ t $ musi być równa zeru, więc i suma $ x + y $ musi być równa zeru. Także równość (6) jest możliwa tylko wtedy, gdy $ x + y = 0 $, $ t = 0 $ (lewa strona niedodatnia, prawa nieujemna). Tak więc, w każdym przypadku, mamy równość $ x + y = t = 0 $. Skoro $ y=-x $, oba człony alternatywy (4) są identyczne: $ x = z $. Podstawiając $ y = - x $, $ z = x $, $ t = 0 $ do (3) dostajemy związek $ (3x)^2 = 3w^2 $, czyli $ w^2 = 3x^2 $. Rozumując podobnie, jak przed chwilą, wnosimy stąd (wobec wymierności liczb $ 3x $ oraz $ w $), że $ x = w = 0 $. Zatem także $ y = -x = 0 $, $ z = x = 0 $.

Dany układ równań ma więc w liczbach wymiernych tylko rozwiązanie trywialne $ t = w = x = y = z = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź