XLIV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ spełniające następujące warunki:

\[<br />
f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R},<br />
\]
\[<br />
f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathrm{R} $ spełnia podane równania. Niech $ t $ będzie liczbą rzeczywistą różną od $ 0 $ i od $ -1 $.

W pierwszym równaniu podstawiamy $ x = 1/(t + 1) $; dostajemy związek

\[<br />
(1) \qquad  f \left( -\frac{1}{t+1}\right)=- f \left(\frac{1}{t+1}\right).<br />
\]

W drugim równaniu podstawiamy kolejno $ x = 1/t $, $ x = -1/(t + 1) $, $ x = t $; uzyskujemy zależności

\[<br />
(2) \qquad  f\left(\frac{t+1}{t} \right)=f\left(\frac{1}{t} \right)+1,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  f\left(\frac{t}{t+1} \right)=f\left(-\frac{1}{t+1} \right)+1,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  f\left(t+1 \right)=f\left(t \right)+1.<br />
\]

Wreszcie w trzecim równaniu podstawiamy kolejno $ x = (t + 1)/t $, $ x = t $, $ x = t + 1 $; otrzymujemy równości

\[<br />
(5) \qquad  f\left(\frac{t}{t+1} \right)=\left(\frac{t}{t+1} \right)^2f\left(\frac{t+1}{t} \right),<br />
\]
\[<br />
(6) \qquad  f\left(\frac{1}{t} \right)=\frac{f(t)}{t^2},<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad  f\left(\frac{1}{t+1} \right)=\frac{f(t+1)}{(t+1)^2}.<br />
\]

Przekształcimy na dwa sposoby wartość $ f(\frac{t}{t+1}) $. Ze wzorów (3), (1), (7), (4) otrzymujemy

\[<br />
f\left(\frac{t}{t+1}\right)=-f\left(\frac{1}{t+1}\right)+1=-\frac{f(t+1)}{(t+1)^2}+1=-\frac{f(t)+1}{(t+1)^2}+1,<br />
\]

a ze wzorów (5), (2), (6) dostajemy

\[<br />
 f\left(\frac{t}{t+1} \right)= \left(\frac{t}{t+1} \right)^2 \left( f\left(\frac{1}{t} \right)+1\right) =  \left(\frac{t}{t+1} \right)^2 \left(\frac{f(t)}{t^2} +1\right).<br />
\]

Przyrównujemy prawe strony otrzymanych wyrażeń:

\[<br />
-\frac{f(t)+1}{(t+1)^2}+1= \left(\frac{1}{t+1} \right)^2 (f(t)+t^2).<br />
\]

Pomnożenie stronami przez $ (t+1)^2 $ daje równość

\[<br />
-f(t)-1 + (t + 1)^2 = f(t) + t^2,<br />
\]

czyli $ f(t) = t $.

Założyliśmy, że $ t \neq 0 $, $ t \neq -1 $. Ale równość $ f(0) = 0 $ wynika bezpośrednio z nieparzystości funkcji $ f $; stąd zaś (wykorzystując podane równania jeszcze raz) mamy $ 0 =f(0) =f((-1) + 1) =f(-1)+1 $, czyli $ f(-1) = -1 $. Ostatecznie więc

\[<br />
f(t) = t \quad     \textrm{dla wszystkich } t\in \mathbb{R}.<br />
\]

Sprawdzenie, że ta funkcja spełnia zadane równania, jest natychmiastowe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź