XLIV OM - III - Zadanie 6

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

Rozwiązanie

Czworościan jest wyznaczony, z dokładnością do izometrii, przez sześć parametrów (na przykład długości sześciu krawędzi). Pola ścian i promień kuli opisanej - to tylko pięć informacji (równań). Stąd przypuszczenie, że odpowiedź na postawione pytanie powinna być negatywna. (Podkreślamy, że to tylko podstawa przypuszczenia, ale w żadnym razie nie dowód; zauważmy zresztą, że gdyby w sformułowaniu zadania zmienić słówko ,,opisanej'' na ,,wpisanej'', odpowiedź byłaby pozytywna...)

W rozważanym zagadnieniu odpowiedź istotnie brzmi: nie. Aby ją uzasadnić, wystarczy podać przykład pary czworościanów o jednakowych polach ścian i promieniach kul opisanych, ale o różnych objętościach. Przykład taki można znaleźć w dość wygodnej do badania klasie czworościanów, w których każda para skośnych krawędzi jest parą przekątnych przeciwległych ścian pewnego prostopadłościanu.

Niech więc $ \mathcal{P} = ABCDA'B'C'D' $ będzie prostopadłościanem o krawędziach długości

\[<br />
|AB| = |CD| = |A'B'| = |C'D'| = a,<br />
\]
\[<br />
 |BC| = |DA| = |B'C'| = |D'A'| = b,<br />
\]
\[<br />
|AA'| = |BB'| = |CC| = |DD'| =c,<br />
\]

i niech $ ACB'D' $ będzie czworościanem z rozważanej klasy (rysunek 11). Promień kuli opisanej równa się

\[<br />
(1) \qquad  R = \frac{1}{2} |AC'| = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2} .<br />
\]

om44_3r_img_11.jpg
Krawędzie czworościanu mają długości

\[<br />
u = |AD'| = |B'C| = \sqrt{b^2+c^2} ,<br />
\]
\[<br />
v = |AB'| = |CD'| = \sqrt{c^2+a^2},<br />
\]
\[<br />
w=|AC| = |B'D'| = \sqrt{a^2+b^2} .<br />
\]

Wszystkie ściany są trójkątami przystającymi (o bokach długości $ u $, $ v $, $ w $), o jednakowym polu $ S $, które można wyrazić przez $ a $, $ b $, $ c $ korzystając na przykład ze wzoru Herona:

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{split}<br />
S &= \frac{1}{4} \Big( (u + v + w)(-u + v + w)(u - v + w)(u + v - w) \Big)^{1/2} =\\<br />
&= \frac{1}{4} \Big( [(v + w)^2-u^2][u^2-(v-w^2]\Big)^{1/2}\\<br />
& = \frac{1}{4} \Big( [(c^2 + 2a^2+b^2 + 2vw)-(b^2 + c^2)] \times\\<br />
&\qquad\qquad\times [(b^2 + c^2) - (c^2 + 2a^2 + b^2 - 2vw)] \Big)^{1/2} =\\<br />
&= \frac{1}{4} \Big([2(a^2 + vw)] [2(vw-a^2)]\Big)^{1/2}= \frac{1}{2}\left(v^2w^2-a^4\right)^{1/2} =\\<br />
&= \frac{1}{2}\left((c^2+ a^2)(a^2+ b^2)-a^4\right)^{1/2} = \frac{1}{2}\left(b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2\right)^{1/2}.<br />
\end{split}<br />
\]

Aby obliczyć objętość $ V $ czworościanu $ ACB'D' $, zauważmy, że powstaje on z prostopadłościanu $ \mathcal{P} $ przez odcięcie czterech ostrosłupów $ ABCB' $, $ AC DD' $, $ A'B'D'A $, $ B'C'D'C $, z których każdy ma objętość równą $ 1/6 $ objętości $ P $, równej $ abc $. Zatem

\[<br />
(3) \qquad  V = abc - 4\cdot \frac{1}{6} abc = \frac{1}{3} abc.<br />
\]

Oznaczmy liczby $ a^2 $, $ b^2 $, $ c^2 $ odpowiednio przez $ x $, $ y $, $ z $. Zgodnie z wyprowadzonymi wzorami (1), (2), (3), zadanie będzie rozwiązane, jeśli znajdziemy dwie trójki liczb dodatnich $ (x,y,z) $ oraz $ (x',y',z') $ spełniające związki

\[<br />
(4) \qquad  \begin{split}<br />
x+y+z&= x'+ y' +z',\\<br />
yz + zx + xy &= y'z' + z'x' + x'y',\\<br />
xyz &\neq x'y'z'.<br />
\end{split}<br />
\]

Ten układ (dwóch równań i jednej nierówności) z sześcioma niewiadomymi ma wiele rozwiązań w liczbach dodatnich. Oto przykładowe rozwiązanie:

\[<br />
(x,y,z) = (2,5,5), \quad (x',y',z') = (6,3,3).<br />
\]

Bierzemy więc prostopadłościany $ \mathcal{P} $ i $ \mathcal{P}' $ o wymiarach $ \sqrt{2}\times\sqrt{5}\times\sqrt{5} $ oraz $ \sqrt{6}\times \sqrt{3} \times \sqrt{3}  $ i ,,wycinamy'' z nich czworościany o jednakowym promieniu kuli opisanej $ R= \frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3} $, mające wszystkie ściany o jednakowym polu $ S = \frac{1}{2}\sqrt{45}= \frac{3}{2}\sqrt{5} $ (wzory (1) i (2)). Objętości tych czworościanów wynoszą odpowiednio $ \frac{5}{3} \sqrt{2} $ oraz $ \sqrt{6} $ (wzór (3)).

Tak więc objętość czworościanu nie jest funkcją pól ścian i promienia kuli opisanej.

{\kom Uwaga.} Znajdowanie konkretnych liczb $ x $, $ y $, $ z $ oraz $ x' $, $ y' $, $ z' $, spełniających warunki (4), nie jest konieczne. Możliwe jest następujące dokończenie rozumowania:

Wybierzmy w dowolny sposób trójkę różnych liczb dodatnich $ (x,y,z) $ i weźmy pod uwagę wielomian

\[<br />
(5) \qquad   P(t) = (t-x)(t-y)(t-z) = t^3-pt^2 + qt-r,<br />
\]

gdzie

\[<br />
p = x + y + z,  \quad    q = yz + zx+xy,    \quad   r = xyz.<br />
\]

Liczby $ x $, $ y $, $ z $ są pierwiastkami tego wielomianu; jego wykres przecina oś zmiennej niezależnej ($ t $) w punktach o odciętych $ x $, $ y $, $ z $. Żaden z pierwiastków nie jest wielokrotny, więc w każdym z tych punktów funkcja $ t\mapsto P(t) $ zmienia znak.

Niech $ k $ będzie liczbą różną od zera, o niewielkiej wartości bezwzględnej. Wykres wielomianu

\[<br />
(6) \qquad  Q(t) = P(t)-k<br />
\]

powstaje przez przesunięcie wykresu wielomianu $ P(t) $ w dół lub w górę (w zależności od znaku $ k $),o wektor długości $ |k| $. Jeżeli wartość $ |k| $ jest dostatecznie mała, to przesunięty w ten sposób wykres nadal przecina oś $ t $ w trzech różnych punktach, których odcięte także są liczbami dodatnimi. Oznaczmy te odcięte przez $ x' $, $ y' $, $ z' $. Są to pierwiastki wielomianu $ Q(t) $, a więc

\[<br />
Q(t) = (t-x')(t-y')(t-z') = t^3-p't^2 + q't-r',<br />
\]

gdzie

\[<br />
p' = x' + y' + z', \quad     q' = y'z' + z'x' + x'y', \quad     r' = x'y'z'.<br />
\]

Pozostaje zauważyć, że - zgodnie z warunkami (5) i (6) -

\[<br />
Q(t) = t^3-pt^2 + qt-(r + k).<br />
\]

Zachodzą więc równóści

\[<br />
p' = p,   \quad   q' = q, \quad     r' =   r + k.<br />
\]

A ponieważ $ k\neq 0 $, znaczy to, że liczby $ x $, $ y $, $ z $ oraz $ x' $ $ y' $, $ z' $ spełniają postulowane związki (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź