XLIII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć, w zależności od stałych rzeczywistych $ a $, $ b $ liczbę rozwiązań układu równań

\[<br />
\begin{cases}<br />
|x+y|+|x-y| &= 2a \\<br />
y-b &= |x-b|.<br />
\end{cases}<br />
\]

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych $ Oxy $ rozważamy zbiory $ A $ i $ B $ wyznaczone (odpowiednio) przez pierwsze i drugie równanie układu:

\[<br />
A=\{ (x,y) \colon |x+y| + |x-y|=2a \},<br />
\]
\[<br />
B=\{ (x,y) \colon y-b = |x-b| \}.<br />
\]

om43_1r_img_1.jpg
Niech $ |A \cap B| $ oznacza liczbę elementów zbioru $ A \cap B $, czyli liczbę rozwiązań rozważanego układu równań.

Gdy $ a < 0 $, zbiór $ A $ jest pusty, więc $ |A \cap B|=0 $.

Gdy $ a = 0 $, wówczas $ A $ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedynym elementem jest początek układu współrzędnych $ O=(0,0) $. Zbiór $ A \cap B $ jest jednoelementowy lub pusty w zależności od togo, czy punkt $ O $ należy do $ B $, czy nie. Oczywiście $ O \in B $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ b \leq 0 $.

Rozważmy teraz przypadek, w którym $ a > 0 $. Zbiór $ A $ jest brzegiem kwadratu $ K $ o wierzchołkach $ (a,a) $, $ (-a,a) $, $ (-a,-a) $, $ (a,-a) $. Uzasadnienie: część zbioru $ A $ zawarta w ćwiartce płaszczyzny wyznaczonej przez nierówności $ x \geq 0 $, $ -x \leq y \leq x $ jest dana równaniem: $ (x + y) + (x -y) = 2a $, czyli $ x = a $; jest to więc odcinek (bok kwadratu $ K $), którego końcami są punkty $ (a,-a) $ i $ (a,a) $. Analogicznie stwierdzamy, że część zbioru $ A $ zawarta w dowolnej z czterech ćwiartek otrzymanych przez podział płaszczyzny prostymi $ y= x $ i $ y =-x $ jest odpowiednim bokiem kwadratu $ K $.

Zbiór $ B $ jest (dla każdej wartości $ b $) sumą dwóch półprostych o wspólnym początku $ P = (b,b) $, tworzących kąt prosty, którego dwusieczną jest półprosta

\[<br />
\{ (x,y) \colon x=b,\ y \geq b \}.<br />
\]

(Uzasadnienie przez rozpatrzenie sytuacji, gdy $ x \geq b $ i gdy $ x<b $.) Punkt $ P $ leży na przekątnej kwadratu $ K $ lub na jej przedłużeniu. Zbiór $ B $ jest rozłączny z brzegiem kwadratu $ K $ (czyli ze zbiorem $ A $), jeśli $ b > a $; dotyka tego brzegu w jednym punkcie, jeśli $ b=a $; przecina brzeg $ K $ w dwóch punktach, jeśli $ b < a $ (rysunek 1).

Uwzględniając wszystkie przypadki, otrzymujemy odpowiedź:

\[<br />
|A \cap B| =<br />
\left\{<br />
\begin{array}{ccl}<br />
0 & \textrm{gdy} & a<0 \ \textrm{lub} \ b>a \geq 0, \\<br />
1 & \textrm{gdy} & b \leq 0=a \ \textrm{lub} \ b=a>0,\\<br />
2 & \textrm{gdy} & a>0 \ \textrm{i} \ a>b.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Można ją krótko zapisać tak:

\[<br />
|A \cap B| = 1 + \mathrm{sign}  (2a-b-|b|).<br />
\]