XLIII OM - I - Zadanie 2

W kwadracie $ ABCD $ o boku długości $ 1 $ punkt $ E $ leży na boku $ BC $, punkt $ F $ leży na boku $ CD $, miary kątów $ EAB $ i $ EAF $ wynoszą odpowiednio $ 20^{\circ} $ i $ 45^{\circ} $. Obliczyć wysokość, trójkąta $ AEF $ poprowadzoną z wierzchołka $ A $.

Rozwiązanie

Miara kąta $ FAD $ wynosi $ 90^\circ - (20^\circ + 45^\circ) = 25^\circ $. Z punktu $ A $ prowadzimy półprostą tworzącą z półprostymi $ AE $ i $ AF $ odpowiednio kąty $ 20^\circ $ i $ 25^\circ $, i odkładamy na niej odcinek $ AG $ długości $ 1 $ (rysunek 2).

Z równości $ |AG| =|AB| = 1 $, $ | \measuredangle EAG| = | \measuredangle EAB| = 20^\circ $ wynika, że trójkąt $ EAG $ przystaje do $ EAB $.

Podobnie, z równości $ |AG| = |AD| = 1 $, $ | \measuredangle FAG| = | \measuredangle FAD| = 25^\circ $ wynika, że trójkąt $ FAG $ przystaje do $ FAD $.

W takim razie

\[<br />
| \measuredangle AGE| = | \measuredangle ABE| = 90^\circ, \quad<br />
| \measuredangle AGF| = | \measuredangle ADF| = 90^\circ.<br />
\]

om43_1r_img_2.jpg
To zaś oznacza, że punkt $ G $ leży na odcinku $ EF $ i jest spodkiem wysokości trójkąta $ AEF $ poprowadzonej z wierzchołka $ A $. Jej długość $ |AG| = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź