XLIII OM - I - Zadanie 3

Dane są liczby naturalne $ a $ i $ b $. Udowodnić, że liczby naturalne $ c $ i $ d $
spełniające równość

\[<br />
a^2+b^2+c^2 = d^2<br />
\]

istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $ ab $ jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

Dane równanie przepisujemy w postaci

\[<br />
(1) \qquad (a + b)^2-2ab = (d-c)(d + c).<br />
\]

Jeśli iloczyn $ ab $ jest liczbą nieparzystą, to liczby $ a $ i $ b $ są obie nieparzyste. Zatem suma $ a + b $ jest parzysta i jej kwadrat dzieli się przez $ 4 $; lewa strona (1) dzieli się przez $ 2 $, ale nie przez $ 4 $. Natomiast prawa strona (1) jest - przy każdym wyborze liczb $ c $, $ d $ - albo liczbą nieparzystą, albo liczbą podzielną przez $ 4 $. Nie istnieją więc (w tym przypadku) liczby $ c $, $ d $ spełniające równość (1).

Jeśli zaś $ ab $ jest liczbą parzystą, to lewa strona (1) daje przy dzieleniu przez $ 4 $ resztę $ 0 $ lub $ 1 $, w zależności od tego, czy obie, czy tylko jedna z liczb $ a $, $ b $ jest parzysta. W takim razie lewa strona (1) jest liczbą postaci $ 4m $, lub $ 4m+1 $ ($ m $ naturalne) i wystarczy przyjąć, w pierwszym przypadku $ c=m - 1 $, $ d = m + 1 $, a w drugim - $ c = 2m $, $ d = 2m + 1 $, by spełnić równanie (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź