XLIII OM - I - Zadanie 4

Obliczyć

\[<br />
\sum_{n=1}^{1991} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}}<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczając $ n $-ty wyraz rozważanej sumy przez $ a_n $, otrzymujemy równość

\[<br />
a_n^2 = \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}} = n-\sqrt{n^2-1} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})^2}{2}.<br />
\]

Zatem $ a_n $, jako liczba dodatnia, równa się $ (\sqrt{n+1}- \sqrt{n-1})/\sqrt{2} $. Tak więc

\[<br />
\begin{split}<br />
\sqrt{2} a_1 & = \sqrt{2} - \sqrt{0}, \\<br />
\sqrt{2} a_2 & = \sqrt{3} - \sqrt{1}, \\<br />
\sqrt{2} a_3 & = \sqrt{4} - \sqrt{2}, \\<br />
\sqrt{2} a_4 & = \sqrt{5} - \sqrt{3}, \\<br />
& \quad \vdots \\<br />
\sqrt{2} a_{1989} & = \sqrt{1990} - \sqrt{1988}, \\<br />
\sqrt{2} a_{1990} & = \sqrt{1991} - \sqrt{1989}, \\<br />
\sqrt{2} a_{1991} & = \sqrt{1992} - \sqrt{1990}.<br />
\end{split}<br />
\]

Dodajemy te wszystkie równości stronami, redukujemy, co się da, dzielimy stronami przez $ \sqrt{2} $ i otrzymujemy wynik:

\[<br />
\sum_{n=1}^{1991} a_n = \frac{\sqrt{1992} + \sqrt{1991} -1}{\sqrt{2}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź