XLIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeśli $ n \geq 2 $ jest liczbą naturalną, to liczba

\[<br />
\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\ldots+\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}}<br />
\]

jest niewymierna.

Rozwiązanie

Oznaczmy badaną liczbę przez $ x_n $. Jest ona pierwiastkiem wielomianu

\[<br />
(1) \qquad P_n(x) = ((\ldots((x^2-2)^3-3)^4-\ldots-(n-2))^{n-1}-(n-1))^n-n.<br />
\]

Przy zmieniającym się $ n $ mamy w ten sposób określony ciąg wielomianów spełniający zależność rekurencyjną

\[<br />
(2) \qquad P_n(x) = (P_{n-1}(x))^n-n; \quad P_2(x)= x^2-2.<br />
\]

Z określenia (1) widać, że współczynnikami każdego z wielomianów $ P_n(x) $ są liczby całkowite, a współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $ x $ równa się $ 1 $. Wiadomo (patrz: {\it Uwaga}), że każdy pierwiastek wymierny takiego wielomianu jest liczbą całkowitą. Ponieważ zaś $ x_n > 1 $, wystarczy dowieść, że $ P_n(x) $ nie ma pierwiastków całkowitych większych od $ 1 $.

Wykażemy w tym celu, że

\[<br />
(3) \qquad P_n(x) \geq 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2, \ n = 2,3,4,\ldots .<br />
\]

Uzasadnienie stwierdzenia (3) będzie indukcyjne, oparte na wzorach (2).

Oczywiście $ P_2(x) = x^2 -2 \geq 2 $ dla $ x \geq 2 $, więc (3) zachodzi dla $ n = 2 $.

Ustalmy liczbę naturalną $ n \geq 3 $ i przyjmijmy, że wielomian $ P_{n-1}(x) $ spełnia nierówność

\[<br />
P_{n-1}(x) \geq 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2.<br />
\]

Wówczas

\[<br />
P_n(x) = (P_{n-1}(x))^2 - n \geq 2^n - n > 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2.<br />
\]

To kończy indukcyjny dowód stwierdzenia (3).

Wynika z niego, że każdy z wielomianów $ P_n(x) $ $ (n \geq 2) $ przyjmuje w przedziale $ \langle 2;\ \infty) $ wyłącznie wartości dodatnie; nie ma więc pierwiastków całkowitych większych od $ 1 $.

Na mocy wcześniejszych spostrzeżeń dowodzi to niewymierności rozważanych liczb $ x_n $ ($ n = 2,3,4,\ldots $).

Uwaga: Oto uzasadnienie faktu, że każdy pierwiastek wymierny wielomianu postaci

\[<br />
P(x) = x^N + a_{N-1}x^{N-1} + \ldots +a_1x + a_0,<br />
\]

gdzie $ a_0,a_1, \ldots, a_{N-1} $ są liczbami całkowitymi, też jest liczbą całkowitą.

Zapiszmy pierwiastek wymierny $ x_0 $ wielomianu $ P(x) $ w postaci ułamka nieskracalnego $ x_0= r/q $ ($ q $, $ r $ całkowite, $ q > 0 $). Pomnożenie równości $ P(x_0) = 0 $ stronami przez $ q^N $ daje

\[<br />
r^N+a_{N-1}qr^{N-1} + \ldots + a_1q^{N-1} r + a_0q^N = 0.<br />
\]

Wszystkie składniki oprócz $ r^N $ są liczbami całkowitymi podzielnymi przez $ q $. Wobec tego także $ r^N $ musi dzielić się przez $ q $. Ułamek $ r/q $ jest z założenia nieskracalny. Stąd wniosek, że $ q= 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź